Неперово число

Неперово число или Ойлерово число се нарича ирационалното число $e$ = 2,718281828459...

То е основа на естествените логаритми и представлява заедно с пи една от най-важните константи в математиката.

Дефиниция

Може да бъде представено по два начина:

• $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$   като граница на числова редица,

• $e = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}$   като сума на безкраен ред.

Други представяния на $e$

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots$

$e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)$

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]$

Свойства

Неперовото число е ирационално (доказано от Ойлер, 1737) и трансцендентно (доказано от Ермит, 1879).

Връзката между неперовото число и пи се вижда от формулата на Ойлер:

$e^{\mathrm i\cdot\pi} = -1.$

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция $f(x)=e^x$, за която е в сила

$\frac{d}{dx}e^x=e^x.$

Още една формула, свързваща числата е и π - т. нар. "интеграл на Поасон" или "интеграл на Гаус":

$\int_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

• За всяко комплексно число z са изпълнени следните равенства:

$e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n:$.

Числото e се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,,$

т. е.

$e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}$

Доказателство за ирационалността на е

Нека предположим, че $\!e$ е рационално. Тогава $\!e=p/q$, където $\!p$ е цяло, а $\!q$ — естествено число, по-голямо от 1, доколкото $\!e$ не е цяло число.

Следователно

$\!p=eq$

Умножавайки двете части на уравнениепо по $\!(q-1)!$, получаваме

$p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}$

Прехвърляме $\sum_{n=0}^q{q!\over n!}$ в лявата част:

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}$

Всички събираеми в дясната част са цели, следователно:

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}$ е цяло число;

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} \ge 1$

Но от друга страна

$\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m} = {1\over q} < 1$

Така стигаме до противоречие.

Първите 200 цифри на $e$

$e=2{,}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\;77572\;47093\;69995$

$\;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274$

$\;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260$

$\;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots$.

История

Числото е се нарича Неперово в чест на шотландския учен Джон Непер - автор на съчинението "Описание на удивителните таблици на логаритмите" (1614). Това не е съвсем коректно, тъй като в него логаритъмът на числото х е равен на

$10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!$

За първи път константата негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а константата не е определена. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред.Самата константа е изведена за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли следната граница:

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Първото известно използване на тази константа, означена с b, се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (ок. 1691 г.). Буквата е първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата "Механика или Наука за движението, изложена аналитично". Поради това е понякога е наричано "число на Ойлер". Не е известно точно защо е избрана тази буква за означаване на константата. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата exponential (показателен).

Вижте също

Естествен логаритъм

Леонард Ойлер

Външни препратки

Доказателство на ирационалността на $e$ (немск.)

Доказателство на транцендентността на $e$ (planetmath.org, англ.)

Доказателство на транцендентността на $e$ (немск.)