Логаритъм

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Графики на функцията логаритъм при различни основи

Логаритъмът е степента (x), на която трябва да бъде повдигната основата (a), за да се получи числото b: x = logab (чете се: x е равно на логаритъм от b при основа a). Например, логаритъм от 1000 при основа 10 е 3, защото 1000 е 10 на степен 3.

Логаритмите започват да се използват в началото на 17 век от Джон Непер като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със сметачна линия или предварително подготвени логаритмични таблици. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите - сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: loga(xy) = loga(x) + loga(y). Съвременното означение на логаритмите е въведено през 18 век от Леонард Ойлер, който открива и тяхната връзка със степенната функция.

В науката и техниката най-често се използват логаритми с основа неперовото число e ≈ 2.718 (естествен логаритъм) и с основа 10 (десетичен логаритъм). За тях се използват и специални означения - ln вместо loge и lg вместо log10. В информатиката се изполва и двоичният логаритъм - с основа 2.

Логаритъмът с дадена основа е обратна функция на степенната функция със същата основа, например естественият логаритъм е обратна функция на експонентата. По подобен начин комплексният логаритъм е обратна функция на степенната функция при комплексните числа. Друг вариант на логаритмичната функция е дискретният логаритъм, използван в криптографията.

Логаритмичните скали се използват за по-компакно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, децибелът е логаритмична мярка, измерваща отношения (електрически потенциали, мощности или звуково налягане). В химията водородният показател (pH) е логаритмична мярка за киселинността на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на алгоритми и при фракталите. С тях се описват музикалните интервали, участват в оценки за броя на простите числа или в някои модели на психофизиката.

История[редактиране | edit source]

Първите изследвания върху концепции сходни с логаритъма, са правени от индийския математик от 8 век Вирасена, който разглежда идеята за ардхакчеда - колко пъти число от вида 2n може да бъде разделено на две цели половини. За точните степени на 2 това число е логаритъмът за тази основа, който е цяло число. Вирасена описва и други свързани зависимости и въвежда също логаритми с основа 3 и 4.[1][2] През 1544 година германецът Михаел Щихел публикува „Обща аритметика“ („Arithmetica integra“), която съдържа таблица със степените на 2, смятана за ранен предшественик на логаритмичните таблици.[3][4][5]

Логаритмите са „изобретени” от Джон Непер (1550 - 1617) – шотландски математик, лорд на Мърчистън, и от Йобст Бюрги – приятел на Кеплер и кралски придворен часовникар в Прага, както и майстор на астрономически инструменти. Непер изобретява логаритмите преди 1594 г., но публикува откритието си едва след 20 години. В заглавието на труда му „Описание на чудната таблица на логаритмите” ("Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio") личи същият възторг, с който логаритмите са били посрещани навсякъде.

Логаритмите с основа е са въведени от лондонския учител по математика Джон Спийдъл; през 1619 г. той издава таблица на „новите логаритми” на числата от 1 до 1000. Тези логаритми възникват „естествено” при определяне на лицата, ограничени от хиперболата у=1/х (Лицето на фигурата, ограничено от хиперболата 1/x и правите x=a и x=b, при a<b, e ln b - ln a); затова Николаус Меркатор нарича логаритмите при основа е „естествени” или „хиперболични”. Италианският математик Пиетро Менголи също отбелязва важността на логаритмите с основа е и ги нарича Logarithmi naturali (натурални логаритми).

Термините „логаритъм” и „антилогаритъм”, въведени от Непер, получават днешния си смисъл у Джон Уолис (1693). Непер разбира под логаритъм log sin α, а под антилогаритъм log cos α. Понятието характеристика, както и самият термин се появяват първоначално в „Arithmetica logarithmica” на Хенри Бригс през 1624 г.; в таблиците на Непер както числата, така и техните логаритми са цели. Записването на знака над характеристиката започва от Уилям Отред в изданието на „Clavis mathematicae” (1652), но не получава веднага признание. Мантисата (от етруското mantisa – „добавка”, „придатък”) е въведена от Уолис, който нарича така дробната част на произволна десетична дроб. За първи път Ойлер използва тази дума за означаване на десетичните знаци само на логаритъма (1748).

Думата „основа” е заимствана от теорията на степенуването и е пренесена в теорията на логаритмите от Ойлер. Модулът на прехода е използван още от Меркатор, а терминът е въведен от Роджър Коутс (1712). Глаголът „логаритмувам” се появява едва през XIX век. Непер не използва никакви символи за означаване на логаритмите. Утвърждаващите се съкращения Log, log или l (у Кеплер, Бригс и Отред съответно през 1624, 1631 и 1647 г.) са се употребявали около столетие без строгото им различаване. Коши пръв предлага да се въведат различни знаци за десетичните и естествените логаритми. Означения, близки до съвременните, са въведени от немския математик Прингсхайм (1893). Независимо от бързото разпространяване на логаритмите и утвърждаването им в практиката в тяхната теория остават още много неясни моменти дори за изключителните умове на онова време.

Названието, въведено от Непер, произхожда от гръцките думи λόγος и άρίθμός и означава буквално „числа на отношенията”; обяснява се с това, че логаритмите възникват при съпоставянето на членовете на две редици. Основата на неговите логаритми е близка до 1/е. Английският математик Бригс опростява таблиците на Непер и го убеждава да премине към десетична основа (1624). Тези логаритми впоследствие започват да се наричат „бригови”, „десетични” или „обикновени”. Таблиците на Бюрги са съставени през периода 1603-1611 г. Предполага се, че са били публикувани след 10 години под названието „Таблици за геометричната и аритметичната прогресия заедно с подробно наставление, как да се разбират и използват при всякакви пресмятания”. Те остават незабелязани до 1856 г.

Таблиците за десетичните антилогаритми са съставени от английските математици Пел и У.Уорнър между 1630 и 1640 г. Естествените антилогаритми са пресметнати от барон фон Вега – австрийски офицер и математик (1794).

Свойства на логаритмите[редактиране | edit source]

При всяка основа a, \log_a 1 = 0, тъй като a^0 =1.

\forall a,b,c>0 и a \ne 1

  • \log_a \left (bc \right) = \log_a b + \log_a c
  • \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c
  • \log_a b^p = p\log_a b
  • \log_a \sqrt[r] {b} = \frac{1}{r} \log_a b
  • \log_a b = log_{a^k} b^k
  • Основно логаритмично равенство:
a^{log_a b} = b

Бележки[редактиране | edit source]

  1. ((en)) Gupta, R. C. History of Mathematics in India. // Hoiberg, Dale и др. Students' Britannica India: Select essays. New Delhi, Popular Prakashan, 2000. ISBN 9780852297629. с. 329.
  2. ((en)) Jain, Hiralal. The Shatkhandagama of Pushpadanta and Bhootabal. // jainworld.com. Jain Samskriti Samrakshaka Sangha, 1996. Посетен на 7 юни 2011.
  3. ((la)) Stifelio, Michaele. Arithmetica Integra. London, Iohan Petreium, 1544. с. 13.
  4. ((en)) Bukhshtab, A.A. и др. Arithmetic. // Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1556080104.
  5. ((en)) Groza, Vivian Shaw и др. Precalculus mathematics. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1972. ISBN 978-0-03-077670-0. с. 182.

Вижте също[редактиране | edit source]