Дзета-функция на Риман

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Дзета-функцията на Риман е функция от особена важност в теорията на числата поради връзката и с разпределението на простите числа. Тя също има приложения във физиката, в теорията на вероятностите и статистиката. Функцията носи името на немския математик Бернхард Риман.

Дефиниция[редактиране | edit source]

Дзета-функцията на Риман за реално s > 1

Дзета-функцията на Риман ζ(s) е функция на една комплексна променлива (традиционно отбелязвана със s), която се дефинира посредством следния безкраен ред :


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

Този ред е ред на Дирихле и е сходящ за всички реални числа s> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни s ≠ 1 с помощта на аналитично продължение. Риман показва това в статията си „Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“ през 1859 година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всичи комплексни s с реална част Re(s) по-голяма от 1 и дефинира аналитична функция на проенливата s в областта {sC : Re(s) > 1} След това той показва как да продължи ζ(s) за всички комплексни s различни от 1. В резултат дзета-функцията се превръща в мероморфна функция на s, която е холоморфна в областта {sC:s≠ 1} и има прост полюс в s=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията ζ(s) извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и функционално уравнение за дзета-функцията, което дава връзка между стойността ѝ в точките s и 1 − s. Известната хипотеза на Риман, която е формулирана във същата статия се отнася за нулите на така продължената функция. За да се подчертае, че s е комплексно число, то често се записва във вида s=σ + it, където σ = Re(s) е реалната, а t = Im(s) — имагинерната част на s.

Отношение към простите числа[редактиране | edit source]

Още Ойлер открива връзката между дзета-функцията и простите числа. Той открива формулата


\begin{align}
\zeta(s)& = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}\\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots
\right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{27^s} +
\cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} +
\frac{1}{p^{3s}} + \cdots \right) \cdots,
\end{align}

където отдясно стои безкрайно произведение по всички прости числа p. Това произведение е сходящо за Re(s) > 1. То е следствие на два основни резултата в математиката: формулата за геометрична прогресия и основната теорема на аритметиката.

Свойства на дзета-функцията[редактиране | edit source]

Стойности в зададени точки[редактиране | edit source]

Следните числа са най-често използваните стойности на дзета-функцията на Риман.

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots =
\infty; това е

хармоничния ред.

\zeta(3/2) \approx 2.612
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots =
\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645.
\zeta(5/2) \approx 1.341
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx
1.202 ; Това число се нарича константа на Апери.
\zeta(7/2) \approx 1.127
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots =
\frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823

За положителните четни числа е валидна формулата


\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!},

където n\ge 1, а  B_n са числата на Бернули.

За отрицателните цели числа е валидна следната формула

\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}

за n\ge 1.

B_k = 0, когато k е нечетно и по-голямо от 1, от където следва, че

\zeta(-2n)=0\,

тоест четните отрицателни цели числа са нули (корени) на дзета-функцията. Тези нули се наричат тривиални нули. Стойностите за първите няколко отрицателни нечетни числа са

\zeta(-1)=-\frac{1}{12}
\zeta(-3)=\frac{1}{120}
\zeta(-5)=-\frac{1}{252}
\zeta(-7)=\frac{1}{240}

Стойността на дзета-функцията за n=0 e  \zeta(0) = -\frac{1}{2}.

Функционално уравнение[редактиране | edit source]

Дзета-функцията удоволетворява следното функционално уравнение:


\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi
s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

което е изпълнено за всички комлпексни числа s освен 0 и 1. Тук, с Γ е обозначена гама-функцията. Тази формула се използва за построяване на аналитичното продължение на дзета-функцията. В точката s = 1, функцията има прост полюс с резидуум 1. Равенството също показва, че дзета-функцията има нули в точките −2, −4, … . Това са така наречените тривиални нули.

Съществува и симетричен вариант на функционалното уравнение. Той се получава като първо се дефинира функцията

\xi(s) =
\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s).

Тогава функционалното уравнение се задава чрез формулата

\xi(s) = \xi(1 - s).\


Нули на дзета-функцията на Риман[редактиране | edit source]

Дзета-функцията на Риман има нули в отрицателните цели числа. Това са така наречените тривиални нули. Те са тривиални в смисъл, че тяхното съществуване може да се докаже сравнително лесно (например използвайки функционалното уравнение). Всички останали нули се наричат нетривиални. Нетривиалните нули са обект на много по-голямо внимание, не само защото тяхното разпределение е много по-слабо изучено, но и защото информация за тях дава отговори на забележително много въпроси от различни области на математиката. Известно е че всички нетривиални нули лежат в отворената ивица {sC: 0 < Re(s) < 1}, която се нарича критичната ивица. Хипотезата на Риман, която се смята за един от най-важните нерешени проблеми в математиката, твърди, че за всяка нетривиална нула s е вярно Re(s) = 1/2. В теорията на дзета-функцията на Риман, множеството {sC: Re(s) = 1/2} се нарича критичната права.

Местоположението на нулите на дзета-функцията е от огромна важност за теорията на числата. От факта, че всички нетривиални нули лежат в критичната ивица може да се изведе законът за разпределение на простите числа. Най-добрия известен резултат за областта в която се намират критичните нули[1] е, че ζ(σ+it) ≠ 0 ако |t| ≥ 3 и

\sigma\ge
1-\frac{1}{57.45(\log{|t|})^{3/2}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}.

Този резултат е неизмеримо по-слаб от твърдението на римановата хипотеза. Той дори не гарантира, че съществува ивица {sC: ε ≤ Re(s) ≤ 1-ε} извън която дзета-функцията да няма нули.

Известно е, че има безброй много нули върху критичната права. Литълууд показва, че ако редицата (γn) се състои от имагинерните части на всички нули в горната полу-равнина в нарастващ ред, то

\lim_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n+1}-\gamma_n=0.

Теоремата за критичната права твърди, че положителен процент от нулите лежи върху критичната права.

Нулата с най-малка неотрицателна имагинерна част в критичната ивица е 1/2+i14,13472514… От функционалното уравнение може да се види, че множеството на нетривиалните нули е симетрично относно правата Re(s) = 1/2. Също така от факта, че ζ(s)=ζ(s*)* за всички комплексни s ≠ 1 (* означава комплексно спрягане) следва, че нулите на дзета-функцията са симетрични относно реалната права.

Реципрочна функция[редактиране | edit source]

Реципрочната функция на дзета-функцията на Риман може да се изрази като ред на Дирихле с коефициенти функцията на Мьобиус μ(n):


\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}

за всяко комплексно число s с реална част > 1.

Обобщения[редактиране | edit source]

Известен брой дзета-функции могат да бъдат считани за обобщения на дзета-функцията на Риман. Един такъв пример е дзета-функцията на Хурвиц

\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},

която съвпада с дзета-функцията на Риман когато q = 1. Други примери са L-функциите на Дирихле и дзета-функцията на Дедекинд.

Връзки[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  1. Ford, K. Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), pp. 565-633