Функция на Мьобиус

Функцията на Мьобиус μ(n) е важна функция в теорията на числата и комбинаториката. Кръстена е на немския математик Аугуст Мьобиус, който я дефинира през 1832.

Дефиниция

Дефиниционното множество на μ(n) са естествените числа $\mathbb{N}$ и приема една от трите стойности {1, 0, -1}, които зависят от факторизацията на n в прости множители. Дефиницията е следната:

• μ(n) = 1, ако n е безквадратно естествено число със четен брой прости множители.
• μ(n) = -1, ако n е безквадратно естествено число с нечетен брой прости множители
• μ(n) = , ако n не е безквадратно число.

Алтернативен начин да се изкаже дефиницията е, да се дефинират функциите:
ω(n), броят различни прости множители на n and
Ω(n), общият брой прости множители на n (незадължително различни). Явно е, че ω(n) ≤ Ω(n).

Тогава:

• μ(n) = (-1)^ω(n) = (-1)^Ω(n), ако ω(n) = Ω(n)
• μ(n) = 0, ако ω(n) < Ω(n)

Свойства

Функцията на Мьобиус е мултипликативна (сиреч μ(ab) = μ(a) μ(b) за всеки взаимно прости числа a и b)

Сумата функцията извикана върху делителите на дадено число n е 0:

$\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases}1&\mbox{ , } n=1\\ 0&\mbox{ , } n>1.\end{cases}$