Интерполация

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Интерполация в числовия анализ е метод на конструиране на нови числови стойности в област от множество на изолирани точки от известни числови стойности.

В инженерните и други науки може да са налице брой от числови стойности, които са придобити чрез проби или експеримент и да е необходимо да се създаде функция, която много близко да покрива тези стойности. Това се нарича създаване на крива или регресивен анализ. Така че интерполацията е специфичен случай на създаване на крива, при който функцията трябва да мине точно през дадените числови стойности.

Друг вид задача, която се решава с интерполация е апроксимацията (приближаването) на сложна функция до проста функция. Например може да имаме фунция, която е твърде сложна, за да се оцени ефикасно. В този случай може да се изберат някои точки за създаване на таблица и след това от тях да се състави по-опростена функция.

Интерполация на крайно множество от точки като епитрохоид. Точките, през които кривата е прокарана са червени, а сините са тези, които ги свързват чрез интерполация.
Линейна интерполация
Приложена полиномна интерполация към същите стойности

Има и друг вид интерполация в математиката - "интерполация на оператори" като класически резултат от интерполация на оператори са Теорема на Рисц-Торин and the Теорема на Маркинкиевиц, както и много други подрезултати.

С други думи е метод, при който функция, зададена таблично (чрез стойностите в отделни точки), се замества с аналитична функция y=f(x), така че стойностите на функцията f(x) във възлите на интерполиране да бъдат равни на съответните таблични стойности на наблюденията. В геометричен смисъл графиката на f(x) минава през точките на интерполиране в координатната равнина. Според вида на функцията f(x) в участъците между възлите, интерполацията може да бъде линейна, параболична, билинейна, бикубична и други, в зависимост от избраната функция за интерполиране.

Линейна интерполация[редактиране | edit source]

Нека функцията, която ще интерполираме, се нарича f(x). Отсечката от тази функция [X0 ; X1] се заменя с линейна функция, стойностите на която при X=X0 и X=X1 съвпадат със стойностите на дадената функция f(X0) и f(X1). Тоест в отрязъка [X0;X1] имаме два възела на интерполация X0 и X1, а интерполационният многочлен е от първа степен. Означаваме f(X0)=Y0, f(X1)=Y1, f(X)=Y. Интерполиращата линейна функция се намира, като се напише уравнението на права, минаваща през две точки (X0,Y0) и (X1,Y1):

 f(x) = \frac{x-x_1}{x_0-x_1} y_0 - \frac{x-x_0}{x_0-x_1} y_1 (Лагранж)

което може да се представи също

f(x) = y_0 + \frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)

Полиномна интерполация[редактиране | edit source]

Полиномна интерполация e генерализация на линеарната интерполация. Всъщност линеарната интерполация е линеарна функция и тук заместваме този интерполант с полином от по-висока степен.

Приложение в икономиката[редактиране | edit source]

Методът се използва в икономиката при изчисляването на някои оптимизационни задачи, като например намирането на вътрешната норма на възвръщаемост на инвестиция.

Пример: Фирма има възможност да избира между два варианта за инвестиции:

  1. Първоначален инвестиционен разход – 20 млн. лева, очаквани нетни парични потоци 4 млн. лева годишно в продължение на четири години.
  2. Начална инвестиция – 15 млн. лева, нетни парични потоци по 3,8 млн. лева годишно през следващите пет години.

Кой от двата варианта е по-изгоден за фирмата?

Необходими формули:

\sum_{k=1}^n \frac{C_k}{(1+R)^k}-C_0 = 0
IRR = R_1+ (R_2-R_1).\frac{NPV_{R_1}}{NPV_{R_1}-NPV_{R_2}}

IRR – вътрешна норма на възвращаемост

NPV – нетна настояща стойност

C_1...C_n – очаквани приходи

C_0 – първоначална инвестиция

R – търсената дискантова ставка, която привежда NPV към нула

Обработка на изображения[редактиране | edit source]

Интерполацията е основен метод за увеличение при цифрови изображения. Стойностите на яркостта на всеки пиксел са дискретните стойности, които служат за интерполационни възли.

Литература[редактиране | edit source]

  • И.И. Поляк, „Численные методы анализа наблюдений“

Вижте още[редактиране | edit source]