Пи

Тази статия е за трансцендентното число. За буквата от гръцката азбука вижте Пи (буква).

---

Анимация за връзката между дължината на окръжността и пи

π (произнасяно пи ) е математическа константа, която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и техниката. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Лудолфово число и като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число).

Числова стойност

Пи - Карлсплац, Виена

В евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между дължината и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sinx = 0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cosx = 0(удвоеното най-малко положително x, за което sinx = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.

Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра. Числовата стойност на π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли трилиони цифри с наличния софтуер. На 31 декември 2009 г. френският програмист Фабрис Белар достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и операционна система 64-битова версия на Red Hat Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0.

Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).

Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез изречението, в което всяка дума има съответния брой букви:

 Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят!
  3  1  4   1   5       9     2     6      5     3    6

Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви сметки.

Особености

π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).

Формули, касаещи π

Геометрия

$\pi$ е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.

Геометрична форма	Формула
Дължина на окръжност с радиус r и диаметър d	$C = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Лице на кръг с радиус r	$S = \pi r^2 \,\!$
Лице на елипса с полуоси a и b	$S = \pi a b$
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!$
Повърхнина на сфера с радиус r	$S = 4 \pi r^2 \,\!$
Обем на цилиндър с височина h и радиус на основата r	$V = \pi r^2 h \,\!$,
Повърхнина на цилиндър с височина h и радиус на основата r	$S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Обем на конус с височина h и радиус на основата r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Повърхнина на прав кръгов конус с височина h и радиус r	$S = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като $S = \int 2 \pi r dr$.)

Също така ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.

Анализ

Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и т.нар. специални математически функции.

• Формула на Виет, 1593 (доказателство):

  $\frac{2}{\pi}= \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\ldots$

• Формула на Лайбниц (доказателство):

  $\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$

• Представяне на Уолис (доказателство):

  $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \frac{\pi}{2}$

• Алгоритъм на Бейли — Борвин — Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли)

  $\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]$

• Гаусов интеграл:

  $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

• Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Дзета-функция на Риман):

  $\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

  $\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

  и в заключение, $\zeta(2n)$ е рационално кратно на $\pi^{2n}$ за цяло положително n.

• Гама-функция, изчислена при стойност на аргумента 1/2:

  $\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

• Приближение на Стирлинг:

  $n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

• Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):

  $e^{i \pi} + 1 = 0\;$

• Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):

  $\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$

• Лице на 1/4 от единичния кръг:

  $\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$

• Следствие на теоремата за резидуумите

  $\oint\frac{dz}{z}=2\pi i ,$

  където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.

Безкрайни дроби

π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известният от които е:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)

Теория на числата

Някои изводи от теорията на числата:

• Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π².
• Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π².
• Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4.
• Произведението от (1-1/p²) за прости p, е 6/π².

  $\prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2}$

Външни препратки

• Пи, изчислено до 1 милион знака (от проекта Гутенберг)
• Пи, изчислено до почти 2,7 трилиона знака
• Най-бързите програми на планетата за изчисляване на числото Пи
• Формули за изчисляване на числото Пи