Сфера

Сфера

Сфера е повърхнина в пространството, която се получава чрез въртене на окръжност около неин диаметър. Центърът на завъртяната окръжност се нарича център на сферата. Сферата може да се опише и като множеството от всички точки в пространството, които са на разстояние r от фиксирана точка О. Числото r се нарича радиус на сферата, а точката О е нейният център. Често и всяка отсечка, която свързва центъра на сферата с произволна нейна точка, се нарича радиус.

Обединението от точките върху сферата и тези във вътрешността ѝ се нарича кълбо.

Общият случай на сфера в n-мерно пространство е повърхнина с n - 1 измерения. Вътрешността ѝ съответно е n-мерно кълбо.

Взаимни положения на права, равнина и сфера

Всяка права може да има с дадена сфера 0, 1 или 2 общи точки.

Когато правата има 2 общи точки със сферата, тя е секуща. Отсечката, чиито краища са двете пресечни точки, се нарича хорда на сферата. Хорда, минаваща през центъра, се нарича диаметър и той е равен на 2r.

Когато правата има само една обща точка със сферата, тя се нарича допирателна, а общата точка се нарича допирна точка. Всяка допирателна е перпендикулярна на радиуса, който свързва центъра на сферата с допирната точка. Валидно е и обратното твърдение. Всички допирателни към сфера във фиксирана нейна точка лежат в една равнина, която се нарича допирателна равнина.

Всяка равнина, която не е допирателна към сферата, или няма общи точки с нея, или я пресича по окръжност. Тази окръжност се нарича голяма окръжност, когато секущата равнина минава през центъра на сферата, и малка окръжност, когато тя не минава през центъра.

Части на сфера

Всяка равнина, която пресича сфера, разделя сферичната повърхнина на две сферични шапки, а кълбото - на два сферични сегмента. Ако равнината минава през центъра на сферата, се получават 2 полусфери и 2 полукълба.

Ако две успоредни равнини пресичат сфера, те отсичат от сферичната повърхнина сферичен пояс, а от кълбото - сферичен слой.

Когато един радиус се хлъзга по дадена окръжност от сферата, кълбото се разделя на два сферични сектора.

Две равнини през центъра на сферата я разделят на четири сферични двуъгълника, а кълбото - на четири сферични клина.

Свойства

Координатите на точките на сфера с център в началото на координатната система удовлетворяват уравнението

$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$.

Когато центърът на сферата е в произволна точка с координати $(x_0,y_0,z_0)$, то уравнението е

$(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2$.

Координатите на сфера в n-мерно линейно пространство с метрика скаларното произведение са свързани с уравнението

$\sum_{i=1}^n x_i^2 = r^2$.

Лицето на сфера с радиус r в тримерното евклидово пространство е

$S = 4 \pi r^2.$

Обемът на кълбо с радиус r се пресмята по формулата

$V = 4 \pi r^3/ 3.$

Точките от сфера с радиус r се представят параметрично по следния начин:

$x = x_0 + r \cos \theta \; \sin \phi,$

$y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \phi \qquad (0 \leq \theta \leq 2\pi \mbox{ and } 0 < \phi \leq \pi ) \,$

$z = z_0 + r \cos \phi$

(Вижте също тригонометрична функция и сферични координати.)

Сфера с произволен радиус с център в началото на координатната система се описва със следното диференциално уравнение:

$x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.$

Вижте също

• Цилиндрични координати
• Тригонометрична функция