Окръжност

Окръжност с радиус r и център М

Окръжност е геометрична крива, образувана от множеството от точките в дадена равнина, намиращи се на определено разстояние (радиус, r) от определена точка (център). Окръжността е затворена крива, а фигурата, съставена от точките във вътрешността и , т.е. точките на разстояние от центъра, по-малко (или по-малко и равно) от радиуса, се нарича кръг. Диаметър на окръжността е отсечката, свързваща две точки от нея и преминаваща през центъра, или нейната дължина (d = 2r).

Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде дефинирана също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му.

Лицето на кръг с радиус r е

$\ S = \pi r ^ 2 = \pi d^2 / 4 ,$

Дължината на окръжност с радиус r е

$\ p =2 \pi r = \pi d ,$

Определения

По Евклид

Според класическото определение, окръжността е геометричното място на точки в равнината, разположени на еднакво разстояние от дадена точка. В своите „Елементи“ египетският математик Евклид (4-3 век пр.н.е.) дава следната дефиниция:

„	Кръг е равнинна фигура, ограничена от линия, такава, че всички прави отсечки, достигащи до нея от една от точките, лежащи вътре във фигурата, са равни една на друга	“
—Евклид. Елементи, Книга I, Определение 15

По Аполоний от Перге

Аполониевата дефиниция за окръжност: d₁/d₂ е константа

Аполоний от Перге (262-190 пр.н.е.) показва, че окръжността може да се дефинира и като множеството от точки в дадена равнина, за които съотношението на разстоянието до две зададени точки е константа, различна от 1.

Доказателството за еквивалентност на определението на Аполоний с класическата дефиниция се състои от две части. Първо, трябва да се докаже, че при зададени две точки, фокусите A и B, и съотношение на разстоянията, всяка точка P, за която е изпълнено условието, трябва да лежи върху определена окръжност. Ако C е друга точка, също изпълняваща условието и лежаща на отсечката AB. От теоремата за ъглополовящата следва, че отсечката PC е ъглополовяща на вътрешния ъгъл APB, заради съотношението:

$\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|}$

Аналогично, отсечка PD, през точка D на правата AB е ъглополовяща на съответния външен ъгъл BPQ, където Q лежи на правата AP. Тъй като сборът на вътрешния и външния ъгъл е 180°, ъгълът CPD е прав. Множеството от точки P, за които ъгълът CPD е прав, образуват окръжност, за която CD е диаметър. Вторият етап от доказателството е да се покаже, че всяка точка от въпросната окръжност удовлетворява зададеното съотношение на разстоянията.

Дефиницията на Аполоний е тясно свързано с едно отношение на окръжностите с геометрията на двойното отношение на точките в комплексната равнина. Ако точките A, B и C са зададени, както в горното доказателство, Аполониевата окръжност за тези три точки е множеството от точките P, за които абсолютната стойност на двойното отношение е равна на 1:

$|[A,B;C,P]| = 1\$

Формулирано по друг начин, P е точка от Аполониевата окръжност тогава и само тогава, когато двойното отношение [A,B;C,P] лежи върху единичната окръжност на комплексната равнина.

Определението на Аполоний дава възможност за дефиниране и на т.нар. обобщена окръжност, множество от криви, включващо освен окръжностите в тесен смисъл, също и правите, образувани при:

$\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|} = 1$

Като частен случай на други геометрични обекти

Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия като го разширите.

В декартови координати

• Уравнението на окръжност с център $M = \left(x_M, y_M \right)$ и радиус r е

  $\left( x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M \right)^2 = r^2$

  ако M съвпада с центъра на координатната система, уравнението придобива вида

  $x^2 + y^2 = r^2.\,$

• Параметрично представяне на окръжност:

  x = x_M + rcos φ

  y = y_M + rsin φ

  където координатите x и y се изразяват чрез параметъра $\varphi$, който може да приема всички стойности в интервала $0 \le \varphi < 2 \pi$.

В полярни координати

Ако полярните координати на центъра на окръжност са M = (r,α), то окръжността с радиус r се описва с равенството

ρ(φ) = 2rcos(φ − α), $0\leq\varphi<2\pi$

ако M е началото на координатната система, то

ρ = r.

В комплексната равнина

Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия като го разширите.

Термини, свързани с окръжността

• Всеки две точки от окръжността я делят на две части, които се наричат дъги на окръжността. Дъгата се нарича полуокръжност, ако отсечката, съединяваща краищата ѝ, е диаметър.
  • d = 2r
• Кръгов сектор или просто сектор се нарича част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса, които съединяват краищата на дъгата с центъра на кръга.
• Отсечка, съединяваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Диаметърът на окръжността е хорда, минаваща през центъра му.
• Сегмент се нарича част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата ѝ хорда.
• Допирателна (тангента) се нарича права, имаща само една обща точка с окръжност, точката се нарича допирна точка.
• Секуща се нарича права, която има две общи точки с окръжност.
• Централен ъгъл на окръжност се нарича ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността.
• Вписан ъгъл се нарича ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи.
• Периферен ъгъл се нарича ъгъл, на който върхът е точка от окръжността, едното рамо е допирателна към К, а другото пресича окръжността.
• Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентрични.

Свойства

• Права и окръжност може да нямат общи точки, да имат една обща точка — правата е допирателна, и да имат две общи точки — правата е секуща.
• През три точки, нележащи на една права, може да се прекара само една окръжност.
• Допирната точка на две окръжности лежи на правата, съединяваща техните центрове.