Конично сечение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Конични сечения. А) парабола. В) елипса и окръжност. С) хипербола

Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний Пергски, който систематично да изследвал свойствата им.

Геометрично представяне[редактиране | edit source]

Три са видовете конични сечения:

  • елипса — затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
  • парабола — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
  • хипербола — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.

Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „прилагане“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή). Въведени са от Аполоний във връзка с дефинираната от него процедура „прилагане“ за построяване на правоъгълник с дадена основа, равнолицев с друг даден правоъгълник.[1]

В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:

  • права линия — когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
  • двойка пресечни прави — когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
  • точка — когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.

Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки[редактиране | edit source]

Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.[2] Нека F е фиксирана точка в равнината, а d - права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където  \textstyle{M' \in d , MM' \perp d}) и по-специално тяхното отношение:  \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e , наречено ексцентрицитет.

Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F — фокус, а правата dдиректриса.

Нека е въведена декартова координатна система O \xi \eta , такава че O \eta съвпада с правата d, оста O \xi минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение \xi = 0, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство  \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e следва, че \displaystyle{(\xi - p)^2 + \eta^2 = e^2\xi^2}, което след преобразувание приема вида:

\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни \xi , \eta.

Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред \xi^2 се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.

  1. При  e = 1 , уравнението приема вида \displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}, което след полагането  \displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y} а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата:  \displaystyle{y^2 = 2px}
    Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.[3]
  2. Нека  e \ne 1. С полагането на  \displaystyle{\xi = x + \alpha , \eta = y} се прави транслация на координатната система, където \alpha е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че \displaystyle{2 \alpha(1 - e^2) - 2p = 0}, оттук \alpha = \frac{p}{1 - e^2} и (1-e^2)x^2 + y^2 = \frac{p^2e^2}{1 - e^2}. Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
    1. При e < 1 , 1 - e^2 > 0 и като разделим на \frac{p^2e^2}{1 - e^2}, при полагане на a = \frac{pe}{1 - e^2} , b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}} получаваме, че \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, което се нарича канонично уравнение на елипсата.
      Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).[3]
    2. При e > 1 , \frac{p^2e^2}{e^2 - 1} > 0 и като разделим на \frac{p^2e^2}{e^2 - 1}, при полагане на a = \frac{pe}{e^2 - 1} , b = \frac{pe}{\sqrt{e^2 - 1}} получаваме, че \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, което се нарича канонично уравнение на хиперболата.
      Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). [3]

И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:

  • при  e < 1 коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
  • при  e = 1 коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
  • при  e > 1 коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.

Свойства[редактиране | edit source]

История[редактиране | edit source]

Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.

Учителят на Александър Македонски, Аристотел, открива около 340 г.пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. По времето на Аристотел и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.

Около 225 г. Аполоний Пергски построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.[4]

През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.[5]

Методи и инструменти за чертане[редактиране | edit source]

Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 - 4 в.пр.н.е.[4] Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.

Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.

Приложения[редактиране | edit source]

Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните — по силно издължени елипси.[6]

Източници[редактиране | edit source]

  1. "Лексикон Математика", изд. Абагар, Холдинг, София, 1995
  2. „Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998
  3. а б в Справочник по висша математика, Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994
  4. а б "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
  5. ((en)) "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
  6. Информация за коничните сечения. // PlanetMath.org. Посетен на 17/05/2007.

Външни препратки[редактиране | edit source]