Питагорова теорема

Питагоровата теорема: сборът от площите на двата квадрата със страни катетите на правоъгълен триъгълник е равен на площта на квадрата със страна хипотенузата

Питагоровата теорема е една от най-важните теореми в евклидовата геометрия, изразяваща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник:

$a^2 + b^2 = c^2\!\,$

където c е дължината на хипотенузата (страната срещу правия ъгъл на триъгълника), а a и b са дължините на двата катета (страните, образуващи правия ъгъл).

Изразена чрез площи, теоремата гласи:

За всеки правоъгълен триъгълник площта на квадрата със страна хипотенузата е равна на сбора от площите на двата квадрата със съответни страни катетите.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570-495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване, въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правогълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация. Част от множеството доказателства на теоремата се базират на първата, а останалите — на втората, като използват различни алгебрични и геометрични методи. Питагоровата теорема може да бъде обобщена по различни начини, включително за многоизмерни или неевклидови пространства, за обекти, които не са правоъгълни триъгълници, и дори за обекти, които изобщо не са триъгълници, а n-мерни тела.

Други форми

Както бе посочено ако c е дължината на хипотенузата, а a и b са дължините на катетите, то Питагоровата теорема може да бъде изразена като Питагоровото уравнение:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

Ако дължината на a и b се знае, то c може да бъде пресметнато по следния начин:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,$

Ако дължината на хипотенузата c и единият катет (a или b) се знае, то дължината на другия катет може да бъде пресметната чрез следните уравнения:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,$

или

$b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,$

Доказателства

Питагоровата теорема е една от теоремите с най-много различни доказателства, като броят им е не по-малък от 370.

Доказателство с подобни триъгълници

Схема 1: Доказателство с използване на подобни триъгълници

Основа на това доказателство е пропорционалността на страните на два подобни триъгълника — съотношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника е еднакво, независимо от техния размер.

Нека ABC е правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл при върха C, както е показано на Схема 1. Построява се височината от върха C, като нейната пресечна точка със страната AB е точката H. H разделя хипотенузата на триъгълника с дължина c на части с дължини d и e. Новообразуваният триъгълник ACH е подобен на триъгълника ABC, защото и двата имат прав ъгъл, а ъгълът при върха A е общ за двата триъгълника, от което следва, че и третите ъгли на двата триъгълника, отбелязани на схемата с θ, са равни. По същия начин триъгълникът CBH също е подобен на ABC. От подобието на триъгълниците следва равенството на съотношенията на съответните им страни:

$\frac{a}{c}=\frac{e}{a}$    и    $\frac{b}{c}=\frac{d}{b}$

Тези съотношения могат да бъдат записани и като:

$a^2=c\times e$    и    $b^2=c\times d$

При събиране на двете уравнения се получава:

$a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2$

Този израз съвпада с Питагоровата теорема:

$a^2+b^2=c^2 \!$

Това доказателство се основава на съотношения на дължини, а не на площи. Въпросът, защо то не е използвано от Евклид, предизвиква дискусии в историята на математиката. Според някои изследователи, използваната в него теория на пропорциите, развита в следващите части на „Елементи“, по това време не е била достатъчно добре разработена.

Доказателство на Евклид

Доказателство на Евклид

Евклид дава доказателство в книгата си Елементи, Книга 1, Твърдение 47

Нека ABC е даденият правоъгълен триъгълник с хипотенуза BC. Построяваме квадратите ACIH, ABFG и BCED от външните страни на триъгълника. Тъй като лицето на всеки квадрат е равно на квадрата на дължината на страната му, за да докажем теоремата е достатъчно да се покаже, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата. За целта спускаме перпендикуляра AL от точката A към правата DE. Нека той пресича правата BC в точката K. Построяваме също отсечките CF и AD.

Ъгълът CBF е равен на сумата на ъглите ABC и ABF. Аналогично, ъгълът ABD е равен на сумата на ABC и CBD. Тъй като ъглите ABF и CBD са прави, а следователно и равни, следва, че ABD е равен на CBF. Освен това отсечките BF и BA са равни, тъй като са страни на един и същ квадрат. Аналогично BD е равна на BC. От там следва, че триъгълниците ABD и CBF са еднакви, по признака за две страни и прилежащ ъгъл.

Лицето на триъгълника ABD е равно на половината от лицето на правоъгълника KBDL, тъй като KB е равна на височината към страната BD в триъгълника ABD. Аналогично лицето на CBF е половината от лицето на ABFG. Тъй като двата триъгълника имат еднакви лица, следва, че лицето на ABFG е равно на лицето на KBDL. Аналогично се показва, че лицето на KCEL е равно на това на квадрата ACIH. Оттук следва, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата, с което теоремата е доказана.

Доказателства с преподреждане на фигури

Доказателство на Питагорова теорема

Даден е квадрат със страна c. В него са построени четири триъгълника както е показано на чертежа със страни a и b

Лесно се вижда, че полученият по средата квадрат е със страна а-b => Лицето на големият квадрат е c² и е равно на лицата на триъгълниците 4.ab/2 + лицето на малкия квадрат (a-b)²

След разписване се получава

c² = 2ab + (a-b)²

c² = 2ab + a² - 2ab + b²

c² = a² + b²

Доказателство на президент Гарфилд

Доказателството е написано през 1876 г., като продължение на предишното, но без квадрати.

Даден е правоъгълен трапец с основи a и b и дължина на височината a+b, както е показано на чертежа

От формулата за лице на трапец имаме (a+b)/2.(a+b) А от триъгълниците имаме, че лицето на трапеца е равно на: ab/2 + ab/2 + c²/2

Тоест (a+b)²/2 = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 + ab = ab + c²/2

a²/2 + b²/2 = c²/2

a² + b² =c²

Източници

Цитирана литература

• ((en)) Heath, Sir Thomas. A History of Greek Mathematics, Vol. I. Dover Publications, 1981, [1921]. ISBN 0-486-24073-8.
• ((en)) Loomis, Elisha Scott. The Pythagorean proposition. 2nd. The National Council of Teachers of Mathematics, 1968. ISBN 978-0873530361.
• ((en)) Maor, Eli. The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 2007. ISBN 978-0-691-12526-8.

Външни препратки

• 81 доказателства на теоремата