Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник е вид триъгълник, на който един от ъглите е прав (90°).

Най-дългата страна в триъгълника е тази, която лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат катети.

• ВС - катет
• АВ - катет
• АС - хипотенуза

Зависимостта между дължините на трите страни в правоъгълен триъгълник се изразява с Питагоровата теорема. Отношението на дължините на които и да е две страни се изразява с тригонометрична функция.

Свойства

• Питагорова теорема: Сумата от квадратите на дължините на катетите е равна на квадрата от дължината на хипотенузата

$AC^2 = AB^2 + BC^2$.

• Обратна теорема на Питагоровата теорема: Ако сумата от квадратите на дължинките на две страни на

триъгълник е равна на квадрата от дължинката на третата страна, то триъгълникът е правоъгълен.

• Сумата от двата ъгъла, различни от правия, е равна на π/2

$\alpha + \beta = \pi/2$.

• Дължината на медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата.

Това лесно се доказва с помощта на насоченки отсечки (фиг.2)

Медиана към хипотенузата

Ако разгледаме насоченките отсечки $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{AM}$,

то за триъгълника АМС е изпълнено $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} / 2 \,$  ,

а за триъгълника АВС е изпълнено   $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\,$ ,  

откъдето следва, че :  

$\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{AC}) / 2 \,$, тъй като $\vec{BA} = -\vec{AB}$

Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим :     AM ² = (AB ² + AC ²)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0).

От Питагоровата теорема знаем, че за триъгълника ABC е в сила равенството :  BC ² = AB ² + AC ²,

откъдето следва, че :   AM = BC / 2.

• Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на 1/2 от произведението на дължините на катетите.

• Теорема на Талес - Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи на хипотенузата.

Вижте също

• Триъгълник
• Питагорова теорема
• Тригонометрична функция