Правоъгълен триъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Правоъгълен триъгълник е вид триъгълник, на който един от ъглите е прав (90°).

Triangle90 bg.png

Най-дългата страна в триъгълника е тази, която лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат катети.

  • ВС - катет
  • АВ - катет
  • АС - хипотенуза

Зависимостта между дължините на трите страни в правоъгълен триъгълник се изразява с Питагоровата теорема. Отношението на дължините на които и да е две страни се изразява с тригонометрична функция.

Свойства[редактиране | edit source]

  • Питагорова теорема: Сумата от квадратите на дължините на катетите е равна на квадрата от дължината на хипотенузата
AC^2 = AB^2 + BC^2.

триъгълник е равна на квадрата от дължинката на третата страна, то триъгълникът е правоъгълен.

  • Сумата от двата ъгъла, различни от правия, е равна на π/2
\alpha + \beta = \pi/2.
  • Дължината на медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от дължината на хипотенузата.
Това лесно се доказва с помощта на насоченки отсечки (фиг.2)
Медиана към хипотенузата
Ако разгледаме насоченките отсечки \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{AM},
то за триъгълника АМС е изпълнено \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} / 2 \,  ,
а за триъгълника АВС е изпълнено   \vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\, ,  
откъдето следва, че :  
\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{AC}) / 2 \,, тъй като \vec{BA} = -\vec{AB}
Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим :     AM 2 = (AB 2 + AC 2)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0).
От Питагоровата теорема знаем, че за триъгълника ABC е в сила равенството :  BC 2 = AB 2 + AC 2,
откъдето следва, че :   AM = BC / 2.
  • Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на 1/2 от произведението на дължините на катетите.
  • Теорема на Талес - Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи на хипотенузата.

Вижте също[редактиране | edit source]