Тригонометрия

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Тригонометрична таблица в енциклопедичен речник от 1728 година

Тригонометрията (на старогръцки: τρίγωνον и μέτρον, „триъгълник“ и „мярка[1]) е дял на математиката, изучаващ отношенията на ъглите и страните в триъгълника. За тази цел тригонометрията използва тригонометричните функции синус, косинус и тангенс и техните производни, които описват тези отношения и намират широко приложение в много други области на математиката, науката и техниката. Тригонометрията възниква през 3 век пр.н.е. като клон на геометрията, като първоначално намира приложение главно в астрономията.[2]

Тригонометрията обикновено се преподава в основните и средните училища. Тя намира приложение както в чистата, така и в приложната математика, като е от съществена важност за много области на науката и техниката. Една от нейните подобласти, сферичната тригонометрия, играе важна роля в астрономията и навигацията. Други свързани с тригонометрията области са хиперболичната и елиптичната геометрия.

История[редактиране | edit source]

Хипарх (2 век пр.н.е.), авторът на най-старата известна тригонометрична таблица, наричан „бащата на тригонометрията“[3]

Египетските и вавилонските математици не измерват пряко ъглите, но изследват съотношенията между страните на подобни триъгълници и откриват някои техни свойства.[4]

Едва през Елинистическата епоха (4-1 век пр.н.е.) тригонометрията се превръща в систематична наука.[5] Математици от този период, като Евклид и Архимед, изследват свойствата на ъглова хорда и доказват теореми, еквивалентни на съвременните тригонометрични зависимости, макар че ги разглеждат в геометричен, а не в алгебричен контекст. Хипарх от Никея, работил в средата на 2 век пр.н.е., е автор на най-старите известни тригонометрични таблици в книгата си „Хорди в окръжност“, разширени от Клавдий Птолемей в неговия „Алмагест“.[6] В Индия тригонометрични зависимости са описани в Суря Сидханта и работите на астронома от 5 век Арябхата.[7]

Гръцките и индийски изследвания в областта на тригонометрията стават основа за работата на ислямските учени в тази област. През 10 век ислямските математици използват и всички основни тригонометрични функции, разполагат с таблици с техните стойности и ги прилагат към задачи от сферичната геометрия. Приблизително по това време тригонометрията е разработена по независим път и в Китай, макар че там тя не се превръща в значима област на изследване.

Тригонометричните методи достигат до Западна Европа през 12 век чрез латински преводи на трудове на ислямски астрономи, като Мохамед ал-Батани и Насир ад-Дин ат-Туси.[8] Една от най-ранните западни работи в областта на тригонометрията е „Пет книги за триъгълниците от всички видове“ („De triangulis omnimodis libri quinque“) на германеца Йохан Региомонтан, писана през 1462-1464 година. Въпреки това през 16 век тригонометрията продължава да бъде слабо позната в Европа и Николай Коперник отделя две глави от своя основен труд „За въртенето на небесните сфери“, за да обясни нейните основни положения. През 1595 година понятието „тригонометрия“ е използвано за пръв път от германеца Вартоломей Питиск в неговия труд „Тригонометрия: кратък и ясен трактат за решаването на триъгълници“ („Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus“).[9]

През този период тригонометрията се превръща в основен клон на математиката, поради нуждите на корабоплаването и търсенето на точни карти на обширни области.[10] Фризиецът Гема Фризий за пръв път описава основаващия се на тригонометрията метод на триангулацията, използващ се до наши дни в геодезията. Трудовете на шотландците Джеймс Грегъри и Колин Маклорин стават основа за по-късното развитие на теорията на тригонометричните редове,[11] а англичанинът Брук Тейлър извежда общите редове на Тейлър.[12]

Съвременния облик на тригонометрията дава германецът Леонард Ойлер през 1748 година, като прилага към нея методите на математическия анализ. Той прави значителни преобразувания в науката, като въвежда познатите днес означения sinx, cosx, tgx, въвежда традицията ъглите да се означават с главни букви, а срещулежащите им страни - със съответните малки букви. Първи прави представянето на тригонометричните криви като функции на ъгъла, като използва единичната окръжност. В книгата си „Увод в анализа на безкрайните“ Ойлер внася яснота по въпроса за знаците на тригонометричните функции в различните квадранти и дава събирателните формули.

Основни зависимости в правоъгълния триъгълник[редактиране | edit source]

Основни зависимости в правоъгълния триъгълник:
   · sin α = a / c;
   · cos α = b / c;
   · tg α = a / b.

Тригонометрични функции[редактиране | edit source]

Зависимости между тригонометричните функции[редактиране | edit source]

sin(90°-a) = cos a

cos(90° - a)=sin a

tg(90° - a)= cotg a

cotg(90° - a) =tg a

tg a *cotg a =1


Основни формули[редактиране | edit source]

Приложение[редактиране | edit source]

Тригонометричните изчисления намират приложение в почти всички области на геометрията, физиката и инженерните науки.

Особен интерес представлява триангулацията - метод за измерване на разстояния, който се използва в астрономията (за измерване на разстоянията до близки звезди), в географията (разстояние между ориентири) и навигационните системи. Освен тези приложения, трябва да се отбележат и множеството области в които се използва тригонометрията, като теория на музиката, акустика, оптика, финансов анализ, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина, химия, теория на числата (криптография), сеизмология, метеорология, океанография, картография, много раздели на физиката, топография и геодезия, архитектура, икономика, машиностроене и т.н.

Бележки[редактиране | edit source]

  1. ((en))  trigonometry. // Online Etymology Dictionary.
  2. ((en)) Nagel, R. (ed.). Encyclopedia of Science. The Gale Group, 2001.
  3. Boyer 1991, с. 162.
  4. ((en)) Neugebauer, Otto. A history of ancient mathematical astronomy: in three parts. Volume 1 of Studies in the history of mathematics and physical sciences. Birkhäuser, 1975. ISBN 9783540069959. с. 744.
  5. ((en)) Hunt, Joseph. The Beginnings of Trigonometry. // rutgers.edu. Rutgers, 2000. Посетен на 24 юни 2011.
  6. ((en)) Anderson, Marlow и др. Sherlock Holmes in Babylon: and other tales of mathematical history. Mathematical Association of America, 2004. ISBN 0883855461. с. 36.
  7. Boyer 1991, с. 215.
  8. Boyer 1991, с. 237, 274.
  9. ((en)) Krebs, Robert E.. Groundbreaking scientific experiments, inventions, and discoveries of the Middle Ages and the Renaissance. Greenwood Publishing Group, 2004. ISBN 9780313324338. с. 153.
  10. ((en)) Grattan-Guinness, Ivor. The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton, 1997. ISBN 0-393-32030-8.
  11. ((en)) Ewald, William Bragg. From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford University Press US, 2008. ISBN 0198505353. с. 93.
  12. ((en)) Dempski, Kelly. Focus on Curves and Surfaces. 2002. ISBN 159200007X. с. 29.
Цитирани източници
  • ((en)) Boyer, Carl Benjamin. A History of Mathematics. Second Edition. John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0471543977.