Тангенс

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Тангенсът е тригонометрична функция, дефинирана като

\operatorname{tg}\,x =  \frac{\,\sin x}{\,\cos x}

за всяко реално x ≠ (2k + 1)π/2. Тази точка се изключва от дефиниционната област на тангенса, понеже той е дефиниран като частно и знаменателят не може да бъде равен на нула.

Терминът "тангенс" е въведен от датския математик Томас Финке (1561 - 1656) в неговата книга "Geometria rotundi" ("Геометрия на кръглото"), издадена през 1583 г.

Дефиниция[редактиране | edit source]

За остър ъгъл в правоъгълен триъгълник тангенсът се дефинира като отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет. За обобщен ъгъл с радианна мярка x ≠ (2k + 1) π/2, чийто връх е в координатното начало, а първото рамо е по абсцисната ос, tg x е ординатата на точката, в която второто рамо на ъгъла пресича оста на тангенсите - допирателната към единичната окръжност, прекарана през точката с координати (1,0).

Формули и свойства[редактиране | edit source]

Някои от свойствата на функцията тангенс са:

  • Функцията тангенс е нечетна функция, понеже tg (-x) = - tg x.
  • Функцията тангенс е периодична функция с период π, понеже tg x = tg (x + kπ).
  • Функцията тангенс не е ограничена функция, тъй като tg π/2 = ∞, tg 3π/2 = -∞.
  • За функцията тангенс са изпълнени:
tg x = 1/ ctg x.
1 + tg2 x = 1/cos2x

Тангенс на сбор и разлика на два ъгъла[редактиране | edit source]

tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 - tg x . tg y).
tg (x - y) = (tg x - tg y) / (1 + tg x . tg y).

Тангенс на удвоен ъгъл[редактиране | edit source]

tg 2x = 2 tg x / (1 - tg2 x).

Сбор и разлика на тангенси[редактиране | edit source]

tg x + tg y = sin (x + y) / cos x . cos y.
tg x - tg y = sin (x - y) / cos x . cos y.

Графика на функцията[редактиране | edit source]

Графика на функцията тангенс в декартова равнина

Графиката на тангенса е показана на следващия чертеж. За да изучим изменението ѝ е дастатъчно да я изследваме в интервал с дължина π . За тази цел е удобен интервалът (-π/2, π/2), като е взета под внимание периодичността на функцията.

Вижте също[редактиране | edit source]