Тангенс
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Тангенсът е тригонометрична функция, дефинирана като
за всяко реално x ≠ (2k + 1)π/2. Тази точка се изключва от дефиниционната област на тангенса, понеже той е дефиниран като частно и знаменателят не може да бъде равен на нула.
Терминът "тангенс" е въведен от датския математик Томас Финке (1561 - 1656) в неговата книга "Geometria rotundi" ("Геометрия на кръглото"), издадена през 1583 г.
Съдържание |
[редактиране] Дефиниция
За остър ъгъл в правоъгълен триъгълник тангенсът се дефинира като отношението на срещулежащия катет към прилежащия катет. За обобщен ъгъл с радианна мярка x ≠ (2k + 1) π/2, чийто връх е в координатното начало, а първото рамо е по абсцисната ос, tg x е абсцисата на точката, в която второто рамо на ъгъла пресича оста на тангенсите - допирателната към единичната окръжност, прекарана през точката с координати (1,0).
[редактиране] Формули и свойства
Някои от свойствата на функцията тангенс са:
- Функцията тангенс е нечетна функция, понеже tg (-x) = - tg x.
- Функцията тангенс е периодична функция с период π, понеже tg x = tg (x + kπ).
- Функцията тангенс не е ограничена функция, тъй като tg π/2 = ∞, tg 3π/2 = -∞.
- За функцията тангенс са изпълнени:
- tg x = 1/ ctg x.
- 1 + tg2 x = 1/cos2x
[редактиране] Тангенс на сбор и разлика на два ъгъла
- tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 - tg x . tg y).
- tg (x - y) = (tg x - tg y) / (1 + tg x . tg y).
[редактиране] Тангенс на удвоен ъгъл
- tg 2x = 2 tg x / (1 - tg2 x).
[редактиране] Сбор и разлика на тангенси
- tg x + tg y = sin (x + y) / cos x . cos y.
- tg x - tg y = sin (x - y) / cos x . cos y.
[редактиране] Графика на функцията
Графиката на тангенса е показана на следващия чертеж. За да изучим изменението й е дастатъчно да я изследваме в интервал с дължина π . За тази цел е удобен интервалът (-π/2, π/2), като е взета под внимание периодичността на функцията.
