Успоредник

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Успоредник

Успоредникът е четириъгълник, срещуположните страни на който са две по две успоредни, т. е. лежат на успоредни прави. Оттук идва и името на тази геометрична фигура. Успоредникът е равнинна (двуизмерна) геометрична фигура, образувана от пресичането на две двойки успоредни прави.

Свойства на успоредника (Паралелограм)[редактиране | edit source]

  • В успоредник срещуположните страни са равни.
  • В успоредник срещуположните ъгли са равни.
  • В успоредник диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка.
  • Всеки два ъгъла на успоредник, които прилежат на една и съща страна, имат сбор, равен на 180 градуса.
  • Пресечната точка на диагоналите на успоредника е негов център на симетрия.
  • Всеки диагонал разделя успоредника на два еднакви триъгълника.
  • За диагоналите на успоредник e и f със страни a и b е изпълнено e2 + f2 = 2(a2 + b2).

Лице на успоредник и други формули[редактиране | edit source]

Означения в успоредника


Разглеждаме успоредник ABCD със страни a и b и диагонали e,f.


Тъждеството на успоредника е представено чрез формулата:

e^2 + f^2 = 2(a^2 + b^2).


Лице на успоредник S \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b = \, \left| \left|\,\overrightarrow{AB} \, \times \, \overrightarrow{AD}\,\right| \right|
S \, = \, a \cdot b \cdot \sin\alpha = a \cdot b \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin \theta ,

къдетo

h_a \, = \, b \cdot \sin\alpha = b \cdot \sin\beta,


h_b \, = \, a \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta.

За диагоналите по косинусовата теорема имаме

f = \sqrt{ a^2+d^2-2 \cdot a \cdot d \cdot \cos (\alpha) }
e = \sqrt{ a^2+d^2+2 \cdot a \cdot d \cdot \cos (\alpha) }

За ъглите на успоредника са изпълнени равенствата

\alpha = \gamma \;\;\;\;\; \beta = \delta \;\;\;\;\; \beta = 180^\circ - \alpha.

Частни случаи на успоредник[редактиране | edit source]

  • правоъгълник — успоредник с четири равни ъгъла — по 90 градуса всеки;
  • ромб — успоредник с равни страни;
  • квадрат — успоредник, на който всички страни и всички ъгли са равни — по 90 градуса всеки ъгъл.

Източник[редактиране | edit source]

Parallelogramm - Статия в Уикипедия на немски език [9 януари 2008].

Вижте също[редактиране | edit source]