Правилен многоъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се пресича никъде), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни и ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът.

За всеки брой на страните n правилните n-ъгълници са еднакви.

Примери:

Свойства[редактиране | edit source]

Вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник са (1-2/n)\times 180 (или също (n-2)\times 180/n) градуса.

Също вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник са (n−2)π/n радиана (или (n−2)/(2π) оборота).

Всички върхове на правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки, т.е. всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.

Правилният n-ъгълник може да се построи с линия и пергел тогава и само тогава, когато нечетните прости множители, на които се разлага n, са различни прости числа на Ферма. Вижте построим многоъгълник.

За n > 2 броят на диагоналите e n\frac{(n-3)}{2}, т. е. 0, 2, 5, 9, ... Те разделят многоъгълника на 1, 4, 11, 24, ... части.

Лице[редактиране | edit source]

Апотема на шестоъгълник

Лицето на правилен n-ъгълник е половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна перпендикулярно на тази страна):

S = \frac{P k}{2}

или

S = \frac{n b^2}{4\operatorname {tg}(\pi/n)},

където b е дължината на страната, k на апотемата.

За b = 1 имаме

{\frac{n}{4}} \operatorname {ctg}(\pi/n)

със следните стойности:

2   0 0,000
3   \frac{\sqrt{3}}{4} 0,433
4   1 1,000
5   \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} 1,720
6   \frac{3 \sqrt{3}}{2} 2,598
7    3,634
8   2 + 2 \sqrt{2} 4,828
9    6,182
10   \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} 7,694
11    9,366
12   6+3\sqrt{3} 11,196
13    13,186
14    15,335
15    17,642
16    20,109
17    22,735
18    25,521
19    28,465
20    31,569
100    795,513
1000    79577,210
10000    7957746,893

Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 — малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).

Симетрия[редактиране | edit source]

Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група Dn (от ред 2n): D2, D3, D4,... Тя се състои от ротациите в Cn (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина — през средата на срещулежащата страна.


Дължина на страната, периметър и лице[редактиране | edit source]

Разглеждаме правилни многоъгълници със страна а, периметър Р и лице S. С r е означен радиусът на описаната около многоъгълника окръжност. Изложени са формули, изразяващи a, P и S чрез r, които са особено удобни при решаване на геометрични задачи.[1]

За равностранен триъгълник имаме

a = r \cdot \sqrt{3}

P = r \cdot 3 \sqrt{3}

S = r^2 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4}

За квадрат:

a = r \cdot \sqrt{2}

P = r \cdot 4 \sqrt{2}

S = r^2 \cdot 2

За правилен петоъгълник:

a = r \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}

P = r \cdot 5 \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}

S = r^2 \cdot \frac{5}{8} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}

За правилен шестоъгълник:

a = r \,

P = r \cdot 6

S = \frac{3}{2} r^2 \sqrt{3}

За правилен седмоъгълник:

a \approx r \cdot 0{,}867767

P \approx r \cdot 6{,}074372

S \approx r^2 \cdot 2{,}736410

За правилен осмоъгълник:

a = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}

P = r \cdot 8 \sqrt{2 - \sqrt{2}}

S = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}

За правилен деветоъгълник:

a \approx r \cdot 0{,}68404029

P \approx r \cdot 6{,}15636258

S \approx r^2 \cdot 2{,}892544

За правилен десетоъгълник:

a = r \cdot \frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1 \right)

P = r \cdot 5 \left(\sqrt{5}-1 \right)

S = r^2 \cdot \frac{5}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}

За правилен дванадесетоъгълник:

a = r \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}

P = r \cdot 12 \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}

S = r^2 \cdot 3

За правилен n-ъгълник:

a = 2 \cdot r \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}

P = 2 \cdot n \cdot r \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}

S = \frac{r^2 \cdot n}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}

История[редактиране | edit source]

Построяването на правилен многоъгълник с n страни остава проблемно за математиците до XIX в. Тази задача е идентична с разделянето на окръжността на n равни части.

Евклид разглежда построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите "Елементи" и решава задачата за n = 3, 4, 5, 6, 15. Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: Ако вече е построен правилен (2m -1)-ъгълник, то правилен 2m-ъгърник (при m > 1) се построява чрез разделяне на окръжността на две равни части, от двете полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т. н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с r и s страни и ако тези числа са взаимно прости, то може да се прострои и правилен многоъгълник с r.s страни. Следователно древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с 2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2} страни, където m е цяло неотрицателно число, p1, p2 са числата 3 и 5,k1, k2 лриемат стойности 0 или 1.

През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. К.Ф. Гаус доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е просто число на Ферма (като 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде построен само с линийка и пергел. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на

2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s},

където k0 е цяло неотрицателно число, k1, k2,...,ks приемат стойности 0 или 1, а pj са прости числа на Ферма. През 1836 г. Пиер-Лоран Ванцел доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо.

Успешният край на тези изследвания е постигнат със следните построения: на правилния 17-ъгълник - от Йохан Ерхингер през 1825 г., на правилния 257-ъгълник - от Фридрих Юлиус Ришело през 1832 г. и на правилния 65 537-ъгълник - от Густав Хермес през 1894 г. [2]

Оттогава задачата се счита за напълно решена.

Източници[редактиране | edit source]

  1. <Polygon - статия в Уикипедия на немски език [14 февруари 2008]
  2. Правильный многоугольник - статия в Уикипедия на руски език [25 ноември 2007]

Вижте също[редактиране | edit source]