Правилен многоъгълник

Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се пресича никъде), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни и ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът.

За всеки брой на страните n правилните n-ъгълници са еднакви.

Примери:

• двустранен правилен многоъгълник — изроден, двулинейна отсечка;
• равностранен триъгълник;
• квадрат;
• правилен петоъгълник;
• правилен шестоъгълник;
• правилен седмоъгълник;
• правилен осмоъгълник;
• правилен деветоъгълник;
• правилен десетоъгълник;
• правилен дванадесетоъгълник.

Свойства

Вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник са $(1-2/n)\times 180$ (или също $(n-2)\times 180/n$) градуса.

Също вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник са (n−2)π/n радиана (или (n−2)/(2π) оборота).

Всички върхове на правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки, т.е. всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.

Правилният n-ъгълник може да се построи с линия и пергел тогава и само тогава, когато нечетните прости множители, на които се разлага n, са различни прости числа на Ферма. Вижте построим многоъгълник.

За n > 2 броят на диагоналите e $n\frac{(n-3)}{2}$, т. е. 0, 2, 5, 9, ... Те разделят многоъгълника на 1, 4, 11, 24, ... части.

Лице

Апотема на шестоъгълник

Лицето на правилен n-ъгълник е половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна перпендикулярно на тази страна):

$S = \frac{P k}{2}$

или

$S = \frac{n b^2}{4\operatorname {tg}(\pi/n)}$,

където b е дължината на страната, k на апотемата.

За b = 1 имаме

${\frac{n}{4}} \operatorname {ctg}(\pi/n)$

със следните стойности:

2	0	0,000
3	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	0,433
4	1	1,000
5	$\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}$	1,720
6	$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$	2,598
7		3,634
8	$2 + 2 \sqrt{2}$	4,828
9		6,182
10	$\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}$	7,694
11		9,366
12	$6+3\sqrt{3}$	11,196
13		13,186
14		15,335
15		17,642
16		20,109
17		22,735
18		25,521
19		28,465
20		31,569
100		795,513
1000		79577,210
10000		7957746,893

Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 — малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).

Симетрия

Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група D_n (от ред 2n): D₂, D₃, D₄,... Тя се състои от ротациите в C_n (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина — през средата на срещулежащата страна.

Дължина на страната, периметър и лице

Разглеждаме правилни многоъгълници със страна а, периметър Р и лице S. С r е означен радиусът на описаната около многоъгълника окръжност. Изложени са формули, изразяващи a, P и S чрез r, които са особено удобни при решаване на геометрични задачи.

За равностранен триъгълник имаме

$a = r \cdot \sqrt{3}$

$P = r \cdot 3 \sqrt{3}$

$S = r^2 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

За квадрат:

$a = r \cdot \sqrt{2}$

$P = r \cdot 4 \sqrt{2}$

$S = r^2 \cdot 2$

За правилен петоъгълник:

$a = r \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

$P = r \cdot 5 \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

$S = r^2 \cdot \frac{5}{8} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$

За правилен шестоъгълник:

$a = r \,$

$P = r \cdot 6$

$S = \frac{3}{2} r^2 \sqrt{3}$

За правилен седмоъгълник:

$a \approx r \cdot 0{,}867767$

$P \approx r \cdot 6{,}074372$

$S \approx r^2 \cdot 2{,}736410$

За правилен осмоъгълник:

$a = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$P = r \cdot 8 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$S = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}$

За правилен деветоъгълник:

$a \approx r \cdot 0{,}68404029$

$P \approx r \cdot 6{,}15636258$

$S \approx r^2 \cdot 2{,}892544$

За правилен десетоъгълник:

$a = r \cdot \frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1 \right)$

$P = r \cdot 5 \left(\sqrt{5}-1 \right)$

$S = r^2 \cdot \frac{5}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}$

За правилен дванадесетоъгълник:

$a = r \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}$

$P = r \cdot 12 \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}$

$S = r^2 \cdot 3$

За правилен n-ъгълник:

$a = 2 \cdot r \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}$

$P = 2 \cdot n \cdot r \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}$

$S = \frac{r^2 \cdot n}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}$

История

Построяването на правилен многоъгълник с n страни остава проблемно за математиците до XIX в. Тази задача е идентична с разделянето на окръжността на n равни части.

Евклид разглежда построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите "Елементи" и решава задачата за n = 3, 4, 5, 6, 15. Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: Ако вече е построен правилен (2m -1)-ъгълник, то правилен 2m-ъгърник (при m > 1) се построява чрез разделяне на окръжността на две равни части, от двете полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т. н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с r и s страни и ако тези числа са взаимно прости, то може да се прострои и правилен многоъгълник с r.s страни. Следователно древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с $2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}$ страни, където m е цяло неотрицателно число, p₁, p₂ са числата 3 и 5,k₁, k₂ лриемат стойности 0 или 1.

През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. К.Ф. Гаус доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е просто число на Ферма (като 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде построен само с линийка и пергел. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на

$2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s},$

където k₀ е цяло неотрицателно число, k₁, k₂,...,k_s приемат стойности 0 или 1, а p_j са прости числа на Ферма. През 1836 г. Пиер-Лоран Ванцел доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо.

Успешният край на тези изследвания е постигнат със следните построения: на правилния 17-ъгълник - от Йохан Ерхингер през 1825 г., на правилния 257-ъгълник - от Фридрих Юлиус Ришело през 1832 г. и на правилния 65 537-ъгълник - от Густав Хермес през 1894 г.

Оттогава задачата се счита за напълно решена.

Вижте също

• Квадрат
• Ромб
• Многоъгълник
• Безкрайноъгълник