Метрично пространство

В математиката под метрика се разбира функция задаваща разстоянието между елементите на дадено множество. Метрично пространство е множество снабдено с метрика.

Формално определение

Една функция $\rho$ се нарича метрика, ако чрез нея на всяка наредена двойка $(x,y)$ от елементи $x$ и $y$ на множеството $X$ се съпоставя реалното число $\rho(x,y)$ и за всеки $x$, $y$, $z$ $\!^\in$ $X$ са изпълнени следните три условия:

1. $\rho(x,y) = 0$ тогава и само тогава, когато $x=y$ (аксиома за идентичност)
2. $\rho(x,y)=\rho(y,x)$ (аксиома за симетричност)
3. $\rho(x,y)$ $\!^\leq$ $\rho(x,z) + \rho(z,y)$ (аксиома на триъгълника или неравенство на триъгълника)

Тези аксиоми отразяват интуитивното понятие за разстояние. Например, разстоянието трябва да е неотрицателна величина (т.е. $\rho(x,z)$ $\!^\geq$ $0$ за всеки две $x$ и $z$, което следва от аксиомата на триъгълника и аксиомата за симетричност при $x=y$). Също така, разстоянието от $x$ до $y$ е същото, както и от $y$ до $x$. Неравенството на триъгълника означава, че от $x$ до $y$ може да се стигне по по-къс път, или поне не по по-дълъг, отколкото ако отначало се премине от $x$ до $z$, а след това от $z$ до $y$.

Наредената двойка $(X,\rho)$ се нарича метрично пространство.

Понятието е въведено от Морис Фреше през 1906 г..

Литература

• Александров П., Введение в теорию множеств и общую топологию, Издательство "Наука", Москва, 1977

Външни препратки

• Metric space в: Encyclopaedia of Mathematics