Метрично пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В математиката под метрика се разбира функция задаваща разстоянието между елементите на дадено множество. Метрично пространство е множество снабдено с метрика.

Съдържание 1 Формално определение 2 Литература 3 Външни препратки 4 Бележки

[редактиране] Формално определение

Една функция ρ се нарича метрика, ако чрез нея на всяка наредена двойка (x,y) от елементи x и y на множеството X се съпоставя реалното число ρ(x,y) и за всеки x, y, z X са изпълнени следните три условия:^[1]

1. ρ(x,y) = 0 тогава и само тогава, когато x = y (аксиома за идентичност)
2. ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома за симетричност)
3. ρ(x,y) ρ(x,z) + ρ(z,y) (аксиома на триъгълника или неравенство на триъгълника)

Тези аксиоми отразяват интуитивното понятие за разстояние. Например, разстоянието трябва да е неотрицателна величина (т.е. ρ(x,z) 0 за всеки две x и z, което следва от аксиомата на триъгълника и аксиомата за симетричност при x = y). Също така, разстоянието от x до y е същото, както и от y до x. Неравенството на триъгълника означава, че от x до y може да се стигне по по-къс път, или поне не по по-дълъг, отколкото ако отначало се премине от x до z, а след това от z до y.

Наредената двойка (X,ρ) се нарича метрично пространство.

Понятието е въведено от Морис Фреше през 1906 г..^[2]

[редактиране] Литература

• Александров П., Введение в теорию множеств и общую топологию, Издательство "Наука", Москва, 1977

[редактиране] Външни препратки

• Metric space в: Encyclopaedia of Mathematics

[редактиране] Бележки

1. ↑ Metrischer Raum в: Lexikon der Mathematik, Spektrum-Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-827-41159-9
2. ↑ Метрическое пространство в: Виноградов И.,Математическая энциклопедия, т. 3, 1985