Число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Число.

Числото представлява абстрактно математическо понятие за означаване на количество, броене и измерване. Като математически обект изразява идеята за брой и ред в зависимост от контекста му на употреба. Символите, с които се изписват числата, се наричат цифри. В разговорния език често двете понятия се използват като синоними, което е неправилно. С цифри се изписват не само числа, а и кодове, означения, телефонни номера, ЕГН, номера на кредитни карти, ISBN на книги и други.

Математическите операции, които могат да се извършват с числата са събиране, изваждане, умножение, деление и повдигане на степен. Те са обикновено предмет на изучаване от аритметиката.

Означения[редактиране | edit source]

В разговорния език, а понякога и в писмения, числата се обозначават със специални части на речта - числителни имена. В писмена форма за означаване на числата обикновено се използват знаци, наричани цифри, които могат да бъдат както специално предназначени за тази цел (например, арабските цифри 0, 1, 2 и т.н.), така и букви, използвани също и за изписване на думи (например, римските цифри I, V, X и т.н.).

Правилата, по които цифрите означават числа, се наричат бройна система. При римските цифри, както подобните системи, основани на гръцката азбука и кирилицата, стойността, означавана от дадена цифра зависи не само от нейното положение, но и от съседните цифри. За разлика от тези системи, при позиционните числената стойност на отделната цифра се определя само от нейното положение, като в общ вид числата се означават като:


(a_na_{n-1}...a_1a_0,a_{-1}a_{-2}...a_{-(m-1)}a_{-m})_Q = \sum_{k=-m}^n a_kQ^k

където Q е основата на бройната система, а ak с отделните цифри.

В наши дни най-широко разпространение има позиционната бройна система с основа 10, използваща десетте арабски цифри. При изписването на естествени числа в десетична система най-дясната цифра има тежест 1, а всяка друга цифра има десет пъти по-голяма тежест от разположената вдясно от нея. Отрицателните числа се обозначават с добавяне на знака минус (-) вляво от поредицата цифри.

Други основи, които се използват в особени случаи, като например в изчислителната техника, са 16, 8, 2. При шестнадесетичната система обикновено се използват арабските цифри, като към тях се добавят шест допълнителни цифри, съвпадащи с първите букви на латиницата - A, B, C, D, E и F.

Класификация[редактиране | edit source]

Основни числови множества
Естествени числа 1, 2, 3, 4, ...
Цели числа ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Рационални числа a/b, където a и b са цели числа и b е различно от нула
Реални числа Границата на сходящ ред от рационални числа
Комплексни числа a + bi, където a и b са реални числа, а i е квадратен корен от −1

Естествени числа[редактиране | edit source]

Най-добре познатите числа са естествените, използвани при броене: едно, две, три и така нататък. Традиционно редицата на естествените числа започва с 1, но през 19 век в теорията на множествата, а и в други области на математиката, нула, мощността на празното множество, също започва да се включва в множеството на естествените числа. В наши дни различни източници използват две различни дефиниции на това множество - с или без нула. Множеството на естествените числа се обозначава с N или \mathbb{N}.

В теорията на множествата, която може да служи за аксиоматична основа на съвременната математика,[1] естествените числа могат да се разглеждат като класове от еквивалентни множества. Например, числото три може да се разглежда като класът от всички множества, които имат точно три елемента. От друга страна, в аритметиката на Пеано числото три се представя като sss0, трети наследник на 0. Възможни са и много други представяния.

Цели числа[редактиране | edit source]

Множеството на целите числа включва естествените числа (включително нула) и целите отрицателни числа - целите числа, сборът на които с естествено число е нула (например, за отрицателното число -7 сборът 7 + (-7) = 0). Множеството на целите цисла се обозначава със Z или \mathbb{Z} (от немски: Zahl, „число“).

Множеството на целите числа образува пръстен с операциите събиране и умножение.[2]

Рационални числа[редактиране | edit source]

Рационално число се нарича такова число, което може да бъде изписано като деление на две цели числа. Те могат да бъдат изразени като частно на целочислено делимо и ненулев целочислен делител. Рационалните числа обикновено се представят като обикновени дроби:

m \over n \,

където m представлява брой еднакви части, а n - броят такива части, които образуват единица.

Множеството на рационалните числа се означава с Q или \mathbb{Q}. То включва всички цели числа, тъй като всяко цяло число може да бъде записано като дроб със знаменател 1. Q е изброимо множество - на всеки елемент на Q може да се съпостави естествено число. Равномощността на множеството на рационалните числа Q с множеството на естествените числа N е доказана от Георг Кантор (1845 - 1918) с помощта на неговия диагонален метод.

Реални числа[редактиране | edit source]

Множеството на реалните числа включва всички рационални числа, както и дробите, които не могат да бъдат представени като частно на цели числа и които се наричат ирационални числа. Всяко реално число съответства на точка от числовата ос. Множеството им си бележи с R или \mathbb{R}.

Реалните числа обикновено се представят като десетични дроби, като рационалните числа са или крайни (например, 1/2 = 0,5), или безкрайни, но периодични дроби (например, 1/3 = 1,33333... = 1,(3)). От друга страна, ирационалните числа са безкрайни дроби, при които няма периодичност (например, π = 3.14159265358979). По тази причина те не могат да бъдат записани като десетична дроб, освен със закръгление.

В абстрактната алгебра всяко пълно подредено поле е изоморфно с множеството на реалните числа, но реалните числа не представляват алгебрически затворено поле.

Комплексни числа[редактиране | edit source]

От своя страна множеството на реалните числа може да се разшири до \mathbb{C} (или C), множеството на комплексните числа.

Комплексните числа се делят на две множества - алгебрични и трансцендентни числа. Алгебричните числа, за разлика от трансцендентните, са корени на ненулеви полиноми с целочислени коефициенти. Например \sqrt{2} е алгебрично число, тъй като е корен на полинома x^2-2. Числа като пи и неперовото число са трансцендентни. Комплексното число е израз от вида a+bi, където a и b са реални числа, а i е имагинерната единица, за която е вярно че i2 = -1. a и b се наричат реална и имагинерна част на числото. Например числото 3+2i има реална част 3 и имагинерна част 2. Реалните числа могат да се представят като комплексни с имагинерна част 0, например 2 = 2+0i. Комплексните числа могат да се събират, изваждат, умножават и делят също като реалните.

Хиперкомплексни числа[редактиране | edit source]

Комплексните числа също могат да бъдат разширени до кватерниони, чието умножение обаче не е комутативно. Кватернионите могат да се разширят до октониони, но при тях се губи и асоциативността.

Изчислими числа[редактиране | edit source]

Други множества[редактиране | edit source]

Бележки[редактиране | edit source]

  1. ((en)) Suppes, Patrick. Axiomatic Set Theory. Courier Dover Publications, 1972. ISBN 0486616304. с. 1.
  2. ((en)) Weisstein, Eric W.. Integer. // MathWorld. Wolfram Research, 2011. Посетен на 29 юни 2011.

Външни препратки[редактиране | edit source]

Вижте също[редактиране | edit source]