Мерсеново просто число

Мерсеново се нарича всяко число от вида

$M_n := 2^n-1, \quad n=2,3,...\,$.

Интерес за теория на числата представляват тези мерсенови числа, които са прости. Известни са под наименованието мерсенови прости числа. Не е трудно да се съобрази, че ако едно мерсеново число $M_n$ е просто, то и $n$ би трябвало да е просто число. Обратното обаче не винаги е вярно. Например:

$M_{11}=2^{11}-1=2047=23 \cdot 89.$

То е и най-малкото съставно мерсеново число.

Мерсеновите и съвършените числа

Простите мерсенови числа са тясно свързани със съвършените числа. Всички известни досега съвършени числа са четни и се получават по формулата

$2^{n - 1} (2^n - 1)$,

където $2^n - 1$ e мерсеновото число $M_n$. Горната формула е използвана от Евклид за пресмятането на първите четири съвършени числа (6, 28, 496, 8128) и стига до нас с неговото съчинение "Елементи". С помощта на тази формула търсенето на четни съвършени числа се свежда до търсене на мерсенови числа.

Все още не е известно дали простите мерсенови числа, а съответно и четните съвършени числа са безбройно много или са краен брой. Този математически проблем засега остава нерешен, въпреки че търсенето на мерсенови числа се извършва с помощта на много мощни компютри.

Първите четири мерсенови прости числа - $M_2 = 3$, $M_3 = 7$, $M_5 = 31$ и $M_7 = 127$ са били известни в античността. Петото - $M_{13} = 8191$, е открито неизвестно от кого преди 1461 г. Следващите две - $M_{17}$ и $M_{19}$, са намерени от Пиетро Каталди през 1588. След близо два века през 1772 г. Леонард Ойлер доказва, че $M_{31}$ е просто число. Исторически следващото $M_{127}$ е намерено от Едуард Лукас през 1876 г., а след него $M_{61}$ - от Иван М. Первушин през 1883 г. Числата $M_{89}$ и $M_{107}$ са намерени в началото на XX век от Р. E. Пауърс през 1911 г. и съответно през 1914 г.

Компютърната ера в търсенето на мерсенови числа

Графика на броя на цифрите в най-големите известни мерсенови прости числа - вертикалната скала е логаритмична

Революция в търсенето на мерсенови прости числа е въвеждането на електронните цифрови компютри. Първият успех на компютрите е M₅₂₁, открито на 30 януари 1952 г. с помощта на SWAC в Института по числен анализ в Калифорнийския университет - Лос Анжелис, с компютърна програма, написана и пусната от проф. Рафаел М. Робинсън. Следващо е M₆₀₇, намерено с компютър след по-малко от две години. Числата  — M₁₂₇₉, M₂₂₀₃, M₂₂₈₁ — са намерени със същата програма няколко месеца по-късно. M₄₂₅₃ е първото мерсеново просто число титан, M₄₄₄₉₇ е първото мерсеново просто число гигант и M_6,972,593 е първото мерсеново просто мегачисло - с най-малко 1 000 000 цифри.

Вижте също

Съвършено число

Просто число

Източник

Mersenne prime - статия в Уикипедия на английски език [14 март 2008].