Съвършено число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Съвършено число в математиката (на старогръцки: ἀριθμὸς τέλειος) се нарича естествено число, което е точна сума от своите по-малки делители (т.е. различни от самото число). Например най-малкото такова число е 6 - делителите му са 1, 2 и 3 и е изпълнено свойството: 1 + 2 + 3 = 6.

Най-малките познати от античността съвършени числа са 6, 28, 496 и 8128.

  • За 28 делителите са 1, 2, 4, 7 и 14, така че 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

По-нататък, тъй като естествените числа растат, съвършените числа се срещат все по-рядко.

Третото съвършено число  е 496, четвъртото — 8128, петото — 33 550 336, шестото — 8 589 869 056 .


От Евклид до Ойлер[редактиране | edit source]

Още Евклид в своите "Елементи" пише, че първите четири съвършени числа могат да се пресметнат по формулата

2^{n-1}(2^n - 1),

където 2^n - 1 е просто число.

  • За n = 2: 2^1(2^2-1) = 6 = 1 + 2 + 3
  • За n = 3: 2^2(2^3-1) = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  • За n = 5: 2^4(2^5-1) = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  • За n = 7: 2^6(2^7-1) = 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Повече от хилядолетие след Евклид Ибн ал-Хайтам (Алхазен) твърди, че всяко четно съвършено число е от вида 2^{n-1}(2^n - 1), където 2^n - 1 е просто число, но не може да докаже този резултат. Едва през XVIII век Леонард Ойлер доказва, че по тази формула се получават всички четни съвършени числа. Тук имаме взаимно еднозначно съответствие между четните съвършени числа и простите мерсенови числа, които са от вида 2^n - 1 при просто число n. Този резултат се посочва като теорема на Евклид - Ойлер.

Съвременно състояние на проблема[редактиране | edit source]

До септември 2007 г. са известни само 44 прости мерсенови числа и следователно са известни 44 четни съвършени числа. Те се получават за

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657.

Най-голямото е 232 582 656 × (232 582 657 − 1) с 19 616 714 цифри.

Все още не е известно дали простите мерсенови числа, а съответно и четните съвършени числа са безбройно много или са краен брой. Този математически проблем засега остава нерешен, въпреки че търсенето на мерсенови числа се извършва с помощта на много мощни компютри.

Освен това всички познати съвършени числа < 1018 са четни. Не е известно дали има нечетно съвършено число - още един нерешен математически проблем.

Първите десет съвършени числа[редактиране | edit source]

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8 128
  • 33 550 336
  • 8 589 869 056
  • 137 438 691 328
  • 2 305 843 008 139 952 128
  • 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
  • 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216

Вижте също[редактиране | edit source]

Просто число

Естествено число

Източник[редактиране | edit source]

  • Совершенное число - статия от Уикипедия на руски език [12 март 2008]
  • Perfect number - статия от Уикипедия на английски език [17 март 2008]

Външни препратки[редактиране | edit source]