Бройна система

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Бройната система е символичен метод за представяне на числата посредством ограничен брой символи, наречени цифри. Съществуват два вида бройни системи - непозиционни и позиционни.

Непозиционни бройни системи[редактиране | edit source]

Непозиционната бройна система е тази, при която стойността на цифрата не зависи от нейното място в записването на числото. Такива бройни системи са римската, гръцката, милетската бройна система и др.

В римската бройна система използваните цифри са М (1000), D (500), C (100), L (50), X (10), V (5), I (1). Там действа правилото: Когато тези знаци са написани в намаляващ ред на стойностите им, стойностите им се събират, а когато по-малък числов знак стои пред по-голям, стойностите им се изваждат - например IV = 5 - 1.

Гръцката бройна система, използвана главно за практически задачи, е десетична система с групиране по петици. Степените на 10 се означават с началните букви на съответните гръцки думи, като единиците се посочват с чертички, а групирането в петици се означава с буквата Γ пред числото. Например

ΓΔ = 50, ΓH = 500, ΓX = 5000, ΓM = 50 000.

Милетската бройна система е била предназначена за научни пресмятания и за означаване на цифрите са използвани 24 гръцки и 3 еврейски букви.

където Qk и Q−k са теглата на съответните цифри, a k — тяхната позиция в записа на числото.

Таблиц

Преобразуване[редактиране | edit source]

Всяко число може да се преобразува от една бройна система в друга.

Двоична <--> десетична[редактиране | edit source]

Двоична -> десетична[редактиране | edit source]

I начин - стандартен[редактиране | edit source]

Пример: Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, трябва да сумираме теглата, съдържащи логическа единица. Всяка цифра от двоичното число е умножено по две на степен, отговаряща на мястото на цифрата минус 1 , като най-малката степен е най-дясната и е равна на нула (степента).

101011= 1*2^5+0*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0 = 43

II начин - опростен[редактиране | edit source]

Пример: Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, трябва да сумираме няколко числа. Всяко число представлява 2 повдигнато на степен n (n e номерът подред на цифрата 1 в двоичното число, като най-малкият номер е най-десния и е равен на нула).

101011 = 2^0 + 2^1 + 2^3 + 2^5 = 1 + 2 + 8 + 32 = 43

Десетична -> двоична[редактиране | edit source]

За да превърнем число от десетична в двоична бройна система, трябва да го разделяме на 2, докато частното стане нула и записваме остатъците вдясно (ако числото не може да се дели на 2, записваме единица, а ако може - нула).
Пример: Преобразуване на 87(10) от десетична в двоична бройна система.

  • 87:2=43 | 1
  • 43:2=21 | 1
  • 21:2=10 | 1
  • 10:2=5 | 0
  • 5:2=2 | 1
  • 2:2=1 | 0
  • 1:2=0 | 1
  • След това, за да получим двоичното число, вземаме единиците и нулите, както сме ги получили, но от долу на горе, т.е. получаваме 1010111(2) в двоична бройна система за числото 87(10) в десетична.

За да получим двоичен еквивалент на десетична дроб, последователно умножаваме по основата на бройната система (в случая 2) до достигане на желаната точност. При всяко умножаване цялата част се явява съответен разряд от двоичния еквивалент. Никога обаче не може да се получи точна десетична дроб, тъй като винаги има остатък. Затова е прието умножението да се извършва 5 - 10 пъти, за да се получи сравнително точно число с малка грешка.

Пример : 0,386(10)

  • 0,386*2=0,772
  • 0,772*2=1,544 ( оттук вадим единица )
  • 0,544*2=1,088
  • 0,088*2=0,176
  • 0,176*2=0,352
  • За да получим числото, вземаме цялата част от всеки отговор от горе на долу и получаваме 0,01100(2) в двоична бройна система за числото 0,386 в десетична

Двоична <--> шестнадесетична[редактиране | edit source]

Става аналогично на преминаването от десетична в двоична бройна система.

Пример : 0011101001110010(2)

  • Разделяме числото отзад напред на полубайтове и според таблицата гледаме да получим верния отговор 0011|1010|0111|0010 = 3A72(16)

Двоичната бройна система и компютрите[редактиране | edit source]

От голямо значение за съвременната изчислителна техника е двоичната бройна система, защото нейните две цифри 1 и 0 технически лесно могат да бъдат различени например по това, дали протича, или не протича ток в някаква електрическа верига. Също така 1 и 0 могат да се тълкуват логически като знаци за верни и неверни съждения. Двоичното представяне на числата е удобно при пресмятания, тъй като събирането и умножението се извършват по следните правила:

0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10; 0.0=0; 0.1=0; 1.0=0; 1.1=1

Редица от 0 и 1 се нарича бинарен код.

Вижте също[редактиране | edit source]