Бройна система

Бройната система е символичен метод за представяне на числата посредством ограничен брой символи, наречени цифри. Съществуват два вида бройни системи - непозиционни и позиционни.

Непозиционни бройни системи

Непозиционната бройна система е тази, при която стойността на цифрата не зависи от нейното място в записването на числото. Такива бройни системи са римската, гръцката, милетската бройна система и др.

В римската бройна система използваните цифри са М (1000), D (500), C (100), L (50), X (10), V (5), I (1). Там действа правилото: Когато тези знаци са написани в намаляващ ред на стойностите им, стойностите им се събират, а когато по-малък числов знак стои пред по-голям, стойностите им се изваждат - например IV = 5 - 1,

Гръцката бройна система, използвана главно за практически задачи, е десетична система с групиране по петици. Степените на 10 се означават с началните букви на съответните гръцки думи, като единиците се посочват с чертички, а групирането в петици се означава с буквата Γ пред числото. Например

ΓΔ = 50, ΓH = 500, ΓX = 5000, ΓM = 50 000.

Милетската бройна система е била предназначена за научни пресмятания и за означаване на цифрите са използвани 24 гръцки и 3 еврейски букви.

Позиционни бройни системи

Позиционна бройна система е тази, при която стойността на всяка цифра се определя от нейното място в записването на числото. Броят на различните цифри, използвани в една позиционна система, се нарича основа на тази бройна система Q. Тези цифри са символи, означаващи целите числа от 0 до Q - 1 (основата на бройната система - 1). В десетичната бройна система например Q = 10 и цифрите, които се използват, са от 0 до 9. В позиционните бройни системи стойността на всеки разряд е по-голяма от съседния му вдясно толкова пъти, колкото е основата на бройната система (в десетичната бройна система 10 пъти). Ето защо, за да се представи числото, следващо най-голямата цифра, трябва да се премести единицата в следващата позиция наляво - например 9 + 1 се записва като 10. При това цифрата 0 посочва, че няма единици от съответния разряд. Без такава цифра за липсващи позиции не е възможна никоя позиционна система. Индусите първи са използвали нулата за означаване на празните позиции (доказва го Гуалорският надпис от 876 г.). Чрез арабите тяхната бройна система прониква в Европа и затова цифрите ѝ се наричат арабски. От тях през вековете се оформят използваните днес в целия свят цифри на десетичната система.

В тази система например редицата от цифри 20 822 означава числото 2.10⁴ + 0.10³ + 8.10² + 2.10¹ + 2.10⁰. Като се има пред вид, че всяка позиция вдясно от дадена позиция е една десета от стойността ѝ и като се сложи запетая след единиците, могат да се представят с произволна точност и дробните части на единиците.

В общия случай за числата в бройна система с основа Q имаме представянето:

$(a_na_{n-1}...a_1a_0,c_1c_2c_3...)_Q = \sum_{k=0}^n a_kQ^k + \sum_{k=1}^\infty c_kQ^{-k},$

където Q^k и Q^−k са теглата на съответните цифри, a k — тяхната позиция в записа на числото.

Таблица на използваните най-често позиционни бройни системи

Десетична	Двоична	Осмична	Шестнадесетична
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Преобразуване

Всяко число може да се преобразува от една бройна система в друга.

Двоична <--> десетична

Двоична -> десетична

I начин - по Стандарт

Пример : Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, трябва да сумираме теглата, съдържащи логическа единица. Всяка цифра от двоичното число е умножено по две на степен, отговаряща на мястото на цифрата - 1 , като най-малката степен е най-дясната и е равна на нула (степента).

$101011= 1*2^5+0*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0 = 43$

II начин - Лесен

Пример: Имаме числото 101011 в двоична бройна система. За да го превърнем в десетична бройна система, трябва да сумираме няколко числа. Всяко число представлява 2 повдигнато на степен n (n e номерът подред на цифрата 1 в двоичното число, като най-малкият номер е най-десния и е равен на нула).

$101011 = 2^0 + 2^1 + 2^3 + 2^5 = 1 + 2 + 8 + 32 = 43$

Десетична -> двоична

За да превърнем число от десетична в двоична бройна система, трябва да го разделяме на 2, докато частното стане нула и записваме остатъците вдясно (ако числото не може да се дели на 2, записваме единица, а ако може - нула).
Пример: Преобразуване на 87₍₁₀₎ от десетична в двоична бройна система.

• 87:2=43 | 1
• 43:2=21 | 1
• 21:2=10 | 1
• 10:2=5 | 0
• 5:2=2 | 1
• 2:2=1 | 0
• 1:2=0 | 1
• След това, за да получим двоичното число, вземаме единиците и нулите, както сме ги получили, но от долу на горе, т.е. получаваме 1010111₍₂₎ в двоична бройна система за числото 87₍₁₀₎ в десетична.

За да получим двоичен еквивалент на десетична дроб, последователно умножаваме по основата на бройната система (в случая 2) до достигане на желаната точност. При всяко умножаване цялата част се явява съответен разряд от двоичния еквивалент. Никога обаче не може да се получи точна десетична дроб, тъй като винаги има остатък. Затова е прието умножението да се извършва 5 - 10 пъти, за да се получи сравнително точно число с малка грешка.

Пример : 0,386₍₁₀₎

• 0,386*2=0,772
• 0,772*2=1,544 ( оттук вадим единица )
• 0,544*2=1,088
• 0,088*2=0,176
• 0,176*2=0,352
• За да получим числото, вземаме цялата част от всеки отговор от горе на долу и получаваме 0,01100₍₂₎ в двоична бройна система за числото 0,386 в десетична

Двоична <--> шестнадесетична

Става аналогично на преминаването от десетична в двоична бройна система.

Пример : 0011101001110010₍₂₎

• Разделяме числото отзад напред на полубайтове и според таблицата гледаме да получим верния отговор 0011|1010|0111|0010 = 3A72₍₁₆₎

Двоичната бройна система и компютрите

От голямо значение за съвременната изчислителна техника е двоичната бройна система, защото нейните две цифри 1 и 0 технически лесно могат да бъдат различени например по това, дали протича, или не протича ток в някаква електрическа верига. Също така 1 и 0 могат да се тълкуват логически като знаци за верни и неверни съждения. Двоичното представяне на числата е удобно при пресмятания, тъй като събирането и умножението се извършват по следните правила:

0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=10; 0.0=0; 0.1=0; 1.0=0; 1.1=1

Редица от 0 и 1 се нарича бинарен код.

Вж. също

• Двоична бройна система
• Десетична бройна система
• Римски цифри
• Гръцки цифри