Частно диференциално уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Частно диференциално уравнение (или диференциално уравнение с частни производни (употребява се и съкращението ЧДУ) е диференциално уравнение, съдържащо неизвестни функции на няколко променливи и техните частни производни. Този тип уравнения играят основна роля в математическата физика.

Увод[редактиране | edit source]

Да разгледаме едно сравнително просто уравнение с частни производни:

 \frac{\partial}{\partial x}u(x,y)=0\, .

От това съотношение следва, че значението на функцията u(x,y) не зависи от x. Следователно, общото решение на уравнението е следното:

u(x,y) = f(y),\,

където f е произволна функция на променливата y.

Аналогичното обикновено диференциално уравнение има вида:

 \frac{df(y)}{dx}=0\,

и неговото решение е

u(x,y) = c,\,

където c е произволна константа (независима от x).

Тези два примера показват, че общото решение на обикновеното диференциално уравнение съдържа произволна константа, а общото решение на частното диференциално уравнение съдържа произволна функция. Решението на частното диференциално уравнение, изобщо казано, не е единствено. В общия случай на границата на разглежданата област се задават допълнителни условия. Например, решението на горното уравнение (функцията f(y)) се определя еднозначно, ако u е определена върху линията x=0.

История[редактиране | edit source]

Първите систематични изследвания на уравненията с частни производни е започнал Фурие. Той извежда уравнението на топлопроводността и развива методите за неговото решаване при различни гранични условия, с което поставя основите на математическата физика. Той прилага и нов метод към решаване на уравненито на струната - метод на разделяне на променливите, получил по-късно името му.


Класификация[редактиране | edit source]

Размерност[редактиране | edit source]

Равна е на броя на независимите променливи. Тя е по-голяма или равна на 2 (при 1 се получава обикновено диференциално уравнение).

Линейност[редактиране | edit source]

Съшествуват линейни и нелинейни уравнения. Линейното уравнение се представя като линейна комбинация от производни на неизвестните функции. Коефициентите могат да бъдат или константи, или известни функции.

Линейните уравнения са добре изследвани, докато нелинейните не са и за решението на отделни видове нелинейни уравнения дори се определят награди (Millenium Prize Problems).

Хомогенност[редактиране | edit source]

Уравнението се нарича нехомогенно, ако в него има член, който не зависи от неизвестните функции.

Ред[редактиране | edit source]

Редът на уравнението се определя от максималния ред на производните. Имат значение производни по всички променливи.

Класификация на уравненията от втори ред[редактиране | edit source]

Линейните частни диференциални уравнения от втори ред се разделят на параболични, елиптични и хиперболични.

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Дифференциальное уравнение в частных производных“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.