Диофантово уравнение

Диофантово се нарича всяко алгебрично уравнение с цели или рационални коефициенти, решенията на което се търсят отново в множествата на целите или на рационалните числа. Специфично за системите от диофантови уравнения е, че броят на неизвестните в тях е по-голям от броя на уравненията в системата, т. е. системата е неопределена и има цял клас решения, чието графично изображение е алгебрична крива, алгебрична повърхнина или обект от по-висок порядък.

Думата "диофантов" произлиза от името на древногръцкия математик Диофант от Александрия, който в основния си труд "Аритметика" разглежда линейни и квадратни уравнения във връзка с резултати, останали от гръцки и вавилонски математици. Диофант е и един от първите математици, които въвеждат математическата символика в алгебрата (въвежда фиксирани означения за неизвестното и първите му степени).

Математическото изследване на диофантови уравнения се нарича диофантов анализ. Доколкото отделни диофантови уравнения винаги са представлявали любопитни задачи с повишена трудност, формулирането на обобщени теоретични подходи към класовете диофантови уравнения е достижение основно на ХХ век.

Два фактора определят вида, сложността и начина на решаване на диофантовите уравнения:

• броят на неизвестните;
• най-високата степен на неизвестна величина в уравнението (системата от уравнения).

Примери за диофантови уравнения

Нека в следващите примери $x$, $y$ и $z$ считаме за неизвестни, а другите буквени означения играят ролята на параметри.

• Тъждеството на Безу $ax + by = 1$ е линейно диофантово уравнение.
• Уравнението $x^n + y^n = z^n$.
  • За $n = 2$ съществуват безброй много Питагорови тройки $(x,y,z)$.
  • За по-високи стойности на n, последната теорема на Ферма гласи, че не съществуват естествени числа x, y, z, които удовлетворяват уравнението.
• Уравнението на Пел $x^2 - ny^2 = 1$, където n е цяло число, различно от квадрат.
• За общите решения на диофантовите уравнения от степен, по-висока от 2, се знае малко, но уравненията на Туе от вида $\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c$, където $n \geq 3$ и $c \not= 0$ са общо взето решими.

Диофантов анализ

Основните въпроси, от които диофантовият анализ се интересува при изучаване на конкретно диофантово уравнение, са:

1. Дали уравнението има поне едно решение
2. Дали има решения различни от тези, които се намират с елементарни методи
3. Дали има крайно или безкрайно много решения
4. Възможно ли е (поне на теория) всички решения да бъдат описани
5. Възможно ли е всички решения да бъдат на практика намерени

Използвани източници

• В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, "Математически енциклопедичен речник", ДИ "Наука и изкуство", София, 1983
• "Физико-математическа и техническа енциклопедия", том 1, Издателство на БАН, София, 1990
• "The Penguin Dictionary of Mathematics", Editors: J. Dainith, R. D. Nelson, Penguin Books, 1989
• Н. В. Александрова, "Математически термини", ДИ "Наука и изкуство", София, 1984

Външни препратки

• Diophantine Equation. Из сайта на Система Mathematica.
• Diophantine Equation. Из PlanetMath.
• Диофантови уравнения