Група (алгебра)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Тази статия се отнася до групите в математиката. За други значения на понятието виж пояснителната страница.

Възможните трансформации на куба на Рубик са пример за група

Група е вид алгебрична структура, която представлява едно от най-основните понятия в математиката. Една група се състои грубо казано от трансформациите на даден обект. Например множеството от ротации на един правилен n-ъгълник е група с n елемента. Пример за по-сложна група е множеството от трансформациите на куба на Рубик. Всяка група е снабдена с операция която на всеки две трансформации съпоставя тяхната композиция.

За да могат групите да се изучават в най-голяма общност те се дефинират аксиоматично без да се конкретизира върху кой обект действат. Група, това е множество снабдено с операция, която на всеки два елемента съпоставя трети, и която изпълнява определени аксиоми. Груповата операция трябва да е асоциативна, да има неутрален елемент и всеки елемент на групата трябва да има обратен. Множеството на целите числа заедно с операцията събиране е друг пример за група.

Дефиниция[редактиране | edit source]

Множеството G заедно със зададена в него бинарна операция · се нарича група и се означава с (G, · ), ако изпълнява следните аксиоми:

  1. асоциативност: за всеки три елемента a, b и c от G е в сила равенството (a · b) · c = a · (b · c).
  2. съществува единичен елемент: в G съществува елемент e, такъв, че за кой да е елемент a от G е в сила равенството e · a = a · e = a.
  3. наличие на обратен елемент: за произволен елемент a от G, съществува елемент b от G, наричан обратен на a, така че е в сила равенството a · b = b · a = e.

Множеството G със зададената в него бинарна операция ·, удовлетворяващо само първите две аксиоми се нарича моноид. Така, групата може да бъде определена като моноид, в който всеки елемент е обратим.

Да отбележим, че свойството a · b = b · a ( често наричан комутативен закон) не е задължително да е в сила. Група G, за която това равенство е изпълнено за всеки два елемента a, b от G, се нарича комутативна, или абелева група.

Основни Твърдения[редактиране | edit source]

Крайни групи[редактиране | edit source]

Теорема на Лагранж[редактиране | edit source]

Теореми на Силов[редактиране | edit source]