Уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Уравнението представлява два аритметични израза, за които се казва, че са равни. Уравнението се записва като се запишат последователно единият израз, знакът равно и другият израз.

$2 + 3 = 5\,.$

Уравненията могат да съдържат променливи или параметри. Променливата е нещо, което може да приема различни числови стойности. Обикновено променливите се бележат с последните букви от латинската азбука (x, y, z и др.). Параметрите са числа, чиято стойност не е известна. Обикновено се бележат с първите букви от латинската азбука (a, b, c и др.). Всяко уравнение се характеризира с дефиниционно множество. Това е множеството от стойностите на променливите, за които уравнението има математически смисъл. Например уравнението

$\frac{12}{x} = 4\,.$

има математически смисъл за всяко x, различно от 0. Според броя на променливите уравненията са различни видове. Тези, които не съдържат променливи се наричат равенства. Останалите се делят на уравнения на една променлива, уравнения на две променливи и т.н. Множеството от стойностите на променливите, за които при заместване почучаваме вярно равенство се наричат корени на уравнението. Уравненията, които са верни за всяка стойност от дефиниционното си множество се наричат тъждества. Например уравнението

$x (x - 1) = x ^ 2 - x\,.$

е тъждество, защото за всяко число x, равенството е изпълнено. Когато намираме корените на едно уравнение, се казва, че решаваме уравнението.

Съдържание

1 Решаване на уравнения
2 Видове уравнения
3 Алгебрични уравнения
4 Квадратни уравнения ax²+bx+c=0
- 4.1 Квадратни параметрични уравнения
5 Кубично уравнение
6 Ирационални уравнения
7 Показателни уравнения
- 7.1 Показателни хомогенни уравнения
8 Хомогенни уравнения
9 Симетрични уравнения
10 Диференциални уравнения
11 Вижте също

[редактиране] Решаване на уравнения

За две уравнения се казва, че са тъждествено равни ако имат едно и също дефиниционно множество и едни и същи корени. Обикновено уравнение се решават като се замени с тъждествено равно на него, след това полученото уравнение отново се замени с тъждествено равно на него и така нататък докато се получи толкова просто уравнение, че корените му да могат да бъдат видяни. Тези замествания се наричат тъждествени преобразувания. Основни начини за получаване на тъждествено равно на дадено уравнение:

Когато разменим двете страни на уравнение, получаваме тъждествено равно уравнение.
Когато към двете страни на уравнение прибавим един и същ аритметичен израз, който не стеснява дефиниционното множество, получаваме тъждествено равно уравнение.
Когато двете страни на уравнение умножим с един и същ аритметичен израз, който е различен от 0 и не стеснява дефиниционното множество, получаваме тъждествено равно уравнение.

$x-5=0\,$

$x-5+5=0+5\,$

$x=5\,$

$\frac{8}{x}=2\,$

$\frac{8}{x}.\frac{x}{2}=2.\frac{x}{2}\,$

$4=x\,$

$x=4\,$

При следващото уравнение обаче умножението по 1/x не е тъждествено преобразувание, защото така стесняваме дефиниционното множество (1/x има смисъл само при x≠0):

$5.x=0\,$

$5.x.\frac{1}{x}=0.\frac{1}{x}\,$

$5=0\,$

[редактиране] Видове уравнения

Освен според броя на участващите променливи, уравненията могат да се разделят на групи според това какви функции участват в техните изрази и според това дали съдържат или параметри. Според участващите функции уравненията могат да бъдат:

Алгебрично уравнение - Това е най-простия вид уравнения, но въпреки това само малка част от тях могат да бъдат решени за разумно време.
Ирационално уравнение
Показателно (експоненциално) уравнение
Логаритмично уравнение

[редактиране] Алгебрични уравнения

Това са уравнения, които могат да се представят във вида P_n = 0, където P_n е полином от степен n. За такова уравнение се казва, че е уравнение от степен n. Уравненията от степен нула се наричат константни, от първа степен - линейни, от втора - квадратни, от трета - кубични и т.н. Всяко уравнение от степен n има не повече от n на брой корена (основна теорема на алгебрата). Когато полиномът е хомогенен, уравнението се нарича хомогенно.

[редактиране] Линейно уравнение на една променлива

Общ вид:

ax + b = 0, a ≠ 0

Решение:

a x + b = 0

a x = - b

x = - b / a

2 x + 3 = 0

2 x = - 3

x = - 3 / 2

Ако a и b са параметри, решаваме уравнението така:
1) a = 0

Получаваме уравнението b = 0, което е константно.

При b = 0, уравнението има безброй много решения:

Уравнението е изпълнено за всяко комплексно число x ( $\forall x \in \mathbb{C}$ ).

При b ≠ 0 уравнението няма решение.

2) a ≠ 0

Получаваме уравнението ax + b = 0, което е линейно и има едно решение:

x = - b / a

[редактиране] Модулни линейни уравнения на една променлива

|ax+b|=c, |ax+b|=-c и |ax+b|=0 при a≠0
Предварително трябва да се даде определение на модул или абсолютна стойност, както още е известно това математическо понятие. Модул на число наричаме разстоянието от нулата до образа на числото върху числовата ос. Модул на едно положително число е самото число. Модул на едно отрицателно число е противополжното му число. Модулът на числото 0 е 0. Примери:

| 3 | = 3

;

| 2 | = 2

;

| a | = a, a > 0

| - 5 | = 5

;

| - 2 | = 2

;

| a | = - a, a < 0

| 0 | = 0

От определението следва, че модулът на всяко число, което е различно от нула е положително число. Тогава |3|=3 и |-3|=3 ⇒ |3|=|-3|. Получихме, че модулите на две противоположни числа са равни.

Да разгледаме два противоположни многочлена: x-a и -(x-a). Числените им стойности за равни стойности на променливите, ще са противоположни числа. Тогава можем да запишем, че |x-a|=|-(x-a)| или |x-a|=|a-x|. Последното равенство се ползва при решавани на математически уравнения, в които се преобразуват изрази под знака на модула. Да разгледаме уравнението |x|=3. От определението за модул знаем, че |3|=3 и |-3|=3. Следователно уравнението се удовлетворява, когато на x даваме стойности 3 и -3, т.е. x=3 и х=-3. Да разгледаме и уравнението |х-10|=3. Чрез аналогични разсъждения съобразяваме, че решението на това уравнение се свежда до решаване на две уравнения: х-10=3 и х-10=-3, откъдето за х, получаваме стойностите 13 и 7. Решението подреждаме така:

|х-10|=3

х-10=3 или х-10=-3

х=10+3 или х=10-3

х=13 или х=7

Броят на решенията на уравнението |ax+b|=c, a≠0 зависи от числото с.

При c>0, уравнението има два корена.

При c=0, уравнението има един корен. Това е уравнение от вида |ax+b|=0, a≠0. Единственото му решение е ax+b=0, x=-b/a.

При c<0, уравнението няма решение, защото модулът е винаги положително число. Това е уравнение от вида |ax+b|=-c, a≠0.

[редактиране] Модулни линейни уравнения с параметър

[редактиране] Квадратни уравнения ax²+bx+c=0

Основна статия Квадратно уравнение

Посоченият вече вид на квадратното уравнение се нарича общ вид:

$ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a, b, c \in \mathbb{R}, \ a \neq 0)$ .

Квадратното уравнение е в нормален вид, когато коефициентът пред най-високата степен в него е единица:

$x^2 + px + q = 0 \qquad (p,q \in \mathbb{R})$ .

От общия вид на уравнението може да се получи еквивалентния му нормален вид чрез разделяне на $a \neq 0.$

Многочленът

a x 2 + b x + c

се нарича квадратен тричлен. Числата a, b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение. Коефициентът а се нарича коефициент пред най-високата степен или старши коефициент. Коефициентът с се нарича свободен член на уравнението.

Когато някой от коефициентите b или c е равен на нула, квадратното уравнение е непълно. Непълните квадратни уравнения се решават, като лявата им страна се разлага на множители.

За непълното уравнение x² = c имаме

при с > 0 то има два реални корена $x_1 = \sqrt c, x_2 = - \sqrt c,$
при с = 0 то има единствен корен х = 0,
при с < 0 то няма реални корени.

Непълното квадратно уравнение а х² + b x = 0 се решава така:

a х² + b x = x (ax + b) = 0. Оттук х₁ = 0, x₂ = - b/a. В общия случай при разлагане на уравнението получаваме:

a (x - x 1)(x - x 2) = 0

където x₁ и x₂ са

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Числото $D = b 2 - 4 a c$ се нарича дискриминанта на квадратното уравнение $a x 2 + b x + c = 0$ .

Ако $D > 0$ , уравнението има два различни реални корена.
Ако $D = 0$ , двата корена са равни: x = - b/2a.
Ако $D < 0$ , двата корена не са реални числа.

Следователно, за да се установи дали дадено квадратно уравнение има реални корени или не, е достатъчно да се пресметне дискриминантата и да се провери нейният знак. Вижда се, че уравнението има реални корени, ако коефициентите а и с са с различни знаци.

[редактиране] Квадратни параметрични уравнения

уравнението(ax+b)(cx+b)

[редактиране] Кубично уравнение

[редактиране] Ирационални уравнения

[редактиране] Показателни уравнения

[редактиране] Показателни хомогенни уравнения

[редактиране] Хомогенни уравнения

Уравнение на което лявата страна е нормален многочлен от втора степен,а дясната нула се нарича хомогенно. Уравнение от такъв вид е:

ax²+bxy+cy²=0

[редактиране] Симетрични уравнения

[редактиране] Диференциални уравнения

[редактиране] Вижте също

Уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Съдържание

[редактиране] Решаване на уравнения

[редактиране] Видове уравнения

[редактиране] Алгебрични уравнения

[редактиране] Линейно уравнение на една променлива

[редактиране] Модулни линейни уравнения на една променлива

[редактиране] Модулни линейни уравнения с параметър

[редактиране] Квадратни уравнения ax²+bx+c=0

[редактиране] Квадратни параметрични уравнения

[редактиране] Кубично уравнение

[редактиране] Ирационални уравнения

[редактиране] Показателни уравнения

[редактиране] Показателни хомогенни уравнения

[редактиране] Хомогенни уравнения

[редактиране] Симетрични уравнения

[редактиране] Диференциални уравнения

[редактиране] Вижте също

Прегледи

Лични инструменти

Навигация

Търсене

Инструменти

На други езици

Уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Съдържание

[редактиране] Решаване на уравнения

[редактиране] Видове уравнения

[редактиране] Алгебрични уравнения

[редактиране] Линейно уравнение на една променлива

[редактиране] Модулни линейни уравнения на една променлива

[редактиране] Модулни линейни уравнения с параметър

[редактиране] Квадратни уравнения ax2+bx+c=0

[редактиране] Квадратни параметрични уравнения

[редактиране] Кубично уравнение

[редактиране] Ирационални уравнения

[редактиране] Показателни уравнения

[редактиране] Показателни хомогенни уравнения

[редактиране] Хомогенни уравнения

[редактиране] Симетрични уравнения

[редактиране] Диференциални уравнения

[редактиране] Вижте също

Прегледи

Лични инструменти

Навигация

Търсене

Инструменти

На други езици

[редактиране] Квадратни уравнения ax²+bx+c=0