Уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
14 \sqrt x + 15 = 71
Най-старото известно уравнение, публикувано през 1557 година от Робърт Рекърд, който въвежда и знака „=“ за означаване на равенство[1]
Динамичните системи се описват с уравнения, чиито решения са функции, като изобразения на графиката странен атрактор

Уравнението е математическо равенство, съдържащо едно или повече променливи. Решаването на уравнението се състои в намирането на стойностите на променливите, за които равенството би било изпълнено. Променливите се наричат също неизвестни, а стойностите, за които равенството е изпълнено - решения на уравнението. За разлика от тъждеството, уравнението е равенство, което не е задължително да бъде изпълнено за всички възможни стойности на променливата.[2]

Съществува голямо разнообразие от уравнения, които намират приложение в различни области на математиката, като методите за тяхното решаване се различават, в зависимост от вида на уравнението.

В алгебрата се разглеждат две основни групи уравнения - полиномните уравнения и системите линейните уравнения. Полиномните уравнения имат общия вид P(X) = 0, където P е полиномна функция, а системите линейни уравнения - a(x) + b = 0, където a линейно изображение, а b и неизвестното x са вектори. За решаването на алгебричните уравнения се използват алгоритмични или геометрични методи, базирани на линейната алгебра или математическия анализ.

Алгебрата изследва и диофантовите уравнения, при които коефициентите и решенията са цели числа, като при тях се използват различни методи, основани на аритметиката. Тези уравнения обикновено са трудни и най-често при тях се търси само дали съществуват решения и какъв е техния брой.

В геометрията уравненията се използват за описване на различни геометрични обекти. Тук целта не е намирането на решения, а демонстрирането и изследването на определени геометрични свойства. В тази област приложение намират две големи групи уравнения - декартови и параметрични.

Математическият анализ изследва уравнения от вида f(x) = 0, където f е функция с определени свойства, като непрекъснатост и диференцируемост. Методите за решаване на тези уравнения дават възможност за конструиране на сходящи поредици от решения, като целта е да се достигне до възможно най-точното решение.

Динамичните системи се дефинират чрез уравнения, чиито решения са редици или функции на една или повече променливи. В този контекст се разглеждат два основни въпроса — за началното състояние и за асимптотичното поведение. За всяко допустимо начално състояние, например стойността на редицата или функцията в нулата, уравнението допуска определено единствено решение. Чувствителността на решенията към малки промени в началното състояние е една от основните задачи. Асимптотичното поведение на дадено решение е формата на решението при стойности на променливата, клонящи към безкрайност. Ако решението не е разходящо, то може да клони към дадена стойност, да има цикличен характер или да има хаотично поведение.

Общи сведения[редактиране | edit source]

Неизвестни, решения, тъждествени преобразувания[редактиране | edit source]

Следният пример е взет от книгата „Китаб ал-джабр уал-мукабала“ на Мохамед ал-Хорезми, един от основоположниците на алгебрата[3]
Един човек умрял и оставил четирима синове и направил на един човек дарение, равно на дела на един от синовете си, и на друг четвърт от разликата между една трета от наследството и първото дарение.

Ако x е неизвестното, в случая — делът от наследството, което получава всеки един син, задачата се преобразува в следното уравнение, в което стойността 1 вдясно обозначава 1 наследство:

(1)\quad 4x + x + \frac 14\left(\frac 13-x\right) = 1

В примера формулираното уравнение означава, че равенството (1) е тъждествено на описаната задача. За да се получи отговора, трябва да се определи единствената стойност на неизвестното x, за която равенството е изпълнено — решение (или корен) на уравнението. Манипулирането на неизвестното дава възможност за решаване на някои уравнения, като представеното тук. Това става чрез преобразуване на уравнението в друго, което е тъждествено на първоначалното.

Две уравнения са тъждествени, ако имат едно и също дефиниционно множество и едни и същи корени. Основните тъждествени преобразувания (начини за получаване на тъждествено на дадено уравнение) са:

  • Размяна на двете страни на равенството
  • Добавяне към двете страни на равенството на един и същ аритметичен израз, който не стеснява дефиниционното множество
  • Умножаване на двете страни на равенството с един и същ аритметичен израз, който е различен от 0 и не стеснява дефиниционното множество (например, умножението с 1/x на уравнение от вида 5x = 0 не е тъждествено преобразувание, защото изключва 0 от дефиниционното множество на променливата x)
  • Степенуване на двете страни на равенството с една и съща степен, която не стеснява дефиниционното множество

Решаването на уравнението в примера може да стане по следния начин:

  • Опростяване на израза вляво
\frac {19}4 x + \frac 1{12} = 1
  • Добавяне на -1/12 към двете страни на равенството
\frac {19}4 x = \frac {11}{12}
  • Умножаване с 4/19 на двете страни на равенството
x = \frac {11}{57}

Параметри[редактиране | edit source]

Параметри в уравненията са променливи, които за разлика от неизвестните могат да присъстват и в решението. Такива уравнения се наричат параметрични и са използвани за пръв път през 16 век от Франсоа Виет като средство за общо решаване на цели групи уравнения,[4] като тези в следния пример:

Пример за параметрично уравнение[5]
Графиката на функцията f е парабола, показана в синьо на схемата, графиката на g1(x) е правата в червено, тази на g-2(x) - във виолетово и тази на g-1 - в зелено

Търси се броят на реалните корени на следните уравнения:

(1)\;x^2=2x + 1,\; (2)\;x^2=2x -2 \;\text{и}\; (3)\;x^2=2x -1

Задачата може да се реши, като се въведе функцията f(x), която съпоставя на всяко x стойността x2. Нейната графика е квадратна парабола, показана в синьо на схемата вдясно. Функцията g1(x) съпоставя на x стойността 2.x +1 (червената права). Корените на уравнение (1) са абсцисите на пресечните точки на параболата и червената права, като графичното представяне показва, че съществуват две решения, съответстващи на двете пресечни точки. За решаването на уравнение (2) се въвежда функцията g-2(x), която съпоставя на x стойността 2.x -2 (виолетовата права). Тя не пресича параболата, което означава, че уравнението няма решение. В последния случай се въвежда функцията g-1(x), която съпоставя на x стойността 2.x -1 (зелената права). Нейната графика е права, успоредна на първите две, която има една обща точка с параболата и съответно третото уравнение има едно решение.

Задачата може да се реши по по-общ начин, като в уравненията се въведе параметър a, който може да заема произволни стойности, а трите уравнения се разглеждат като частни случаи при стойности на параметъра a 1, -2 и -1:

(4)\quad x^2=2x +a

Уравнение (4) се нарича параметрично уравнение, а променливата a - параметър.

Алгебра[редактиране | edit source]

Полиномни уравнения[редактиране | edit source]

Графиката на полинома X5 - 3X + 2 показва, че той има поне четири корена (петият не се вижда на тази графика), и илюстрира основната теорема на алгебрата в този частен случай

Основна категория уравнения, изследвани от алгебрата, са полиномните уравнения, които имат общия вид:

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 \!

където an ≠ 0, а стойността n се нарича степен на уравнението.

Наличието на добре разработени методи за решаването на полиномни уравнения дава възможност за решаването чрез подходяща замяна на неизвестното и на други групи уравнения. Например, уравнението e2x - (ea + eb)ex + ea+b = 0 може да бъде трансформирано в полиномно уравнение от втора степен чрез полагането X = ex.

Решаването на полиномните уравнения от първите няколко степени е сравнително просто. При уравненията от първа степен (линейни уравнения) решението е:

x = \frac {-a_0} {a_1} \!

При уравненията от втора степен (квадратни уравнения) корените също може да се получат в явен вид, когато коефициентите и корените са реални числа:

x = \frac{-a_1 \pm \sqrt{{a_1}^2-4{a_2}{a_0}}}{2{a_2}}

където условието за реалност на корените е стойността под квадратния корен, наричана дискриминанта, да бъде по-голяма или равна на нула.

Решаването на полиномните уравнения от трета степен (кубични уравнения) е по-сложна задача. Италианските математици през Ренесанса установяват, че получаването на общо решение изисква добавянето към множеството на числата на имагинерните числа.[6] Това откритие дава възможност за формулирането на затворени решения на уравненията от трета и четвърта степен — съответно формула на Кардано и формула на Ферари.

По-късно е изведена и основната теорема на алгебрата, според която всяко полиномно уравнение от степен по-голяма от нула и с реални или комплексни коефициенти има поне един комплексен корен. Макар че тази теорема гарантира съществуването на решение за много широк кръг полиномни уравнения, тя не предлага явно решение, а наличието на комплексни корени на уравненията с реални коефициенти не е интуитивно очевидно. Теоремата на Абел-Руфини дава обяснение на този факт, като показва, че за полиномните уравнения от по-висока степен не съществува обща формула, подобна на тези за уравненията до четвърта степен. Този извод, до който достига Нилс Абел, е допълнен от Еварист Галоа, който извежда необходимото и достатъчно условие за наличие на решение от подобен вид на полиномните уравнения. В историята на математиката основната теорема на алгебрата и теоремата на Абел-Руфини образуват популярната през 19 век теория на уравненията, която днес не се разглежда като самостоятелна област на математиката.

Системи линейни уравнения[редактиране | edit source]

„Дзиуджан Суаншу“, китайска книга от 2 век пр.н.е., описваща вариант на метода на Гаус за решаване на системи линейни уравнения

Друга група уравнения, изследвани от алгебрата, са векторните линейни уравнения от вида:

a(x) + b = 0 \!

където a е линейно изображение на векторното пространство E във векторното пространство F, b е вектор от пространството F, а x е променлива, дефинирана в пространството E.

Ако пространствата E и F са с крайна размерност, съответно n и m, изборът на база на E и F дава възможност изображението a да се представи под формата на матрица (ajk), x - под формата на вектор стълб с n координати (xk) и b - като вектор стълб с m координати (bj). Така векторното линейно уравнение може да бъде записано като система от линейни уравнения:

\quad \left\{\begin{matrix}  a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_n = b_m\end{matrix}\right.

Системите линейни уравнения намират широко приложение в науката и техниката, често в методи за приблизително решаване на диференциални уравнения, поради което съществуват множество методи за тяхното решаване. В случая, когато размерностите n и m са равни и детерминантата на матрицата a е различна от нула, решението на системата може да бъде получено в явен вид чрез метода на Крамер. Този начин за решаване на системите е неефективен и в практиката по-често се използват итерационни алгоритми, като метода на Гаус.[7] Неговата цел е да отдели отделните неизвестни, като чрез поредица тъждествени преобразувания получи линейни уравнения с едно неизвестно. Методът на Гаус е известен още през Древността. Негов вариант е описан в Глава 8 на китайската математическа книга от 2 век пр.н.е. „Дзиуджан Суаншу“.[8]

Геометрична интерпретация на линейните уравнения[редактиране | edit source]

Геометрията дава възможност за създаване на по-ефективни алгоритми за решаване на линейни уравнения. Схемата показва триизмерно изображение на функцията f.
Схема на хоризонталите на функцията f. Червената и зелената отсечка показват пътя на приблизително решение, което се извършва с две итерации в двуизмерния случай.

Геометричната интерпретация на системите линейни уравнения дава допълнителна информация за техния характер. Изображението на линейния оператор a образува векторно подпространство, подобно на равнината в триизмерното пространство. Ядрото на a (векторите от дефиниционното множество, чието изображение е нулевият вектор) също е подпространство. Тези резултати показват, че множестовото от решенията образува афинно пространство.

Този подход дава възможност за създаване на алгоритми за решение, които отчитат характерните особености на a. В някои частни случаи съществуват методи, позволяващи по-бързото намиране на решение, отколкото чрез метода на Гаус. Например, възможно е да не се търси пряко решение на уравнението a.x + b = 0, а да се отговори на друг въпрос, привидно по-сложен — да се намери екстремума на f(x), дефинирана като:

\forall x \in E \quad f(x) =\frac 12 \langle ax,x\rangle +\langle b,x\rangle

Този екстремум е и решението на системата линейни уравнения. За да се разбере методът на решение, най-просто е да се разгледа случаят с две измерения — графиката на f има овална форма, както е показано на схемата вляво. Ако се тръгне от произволна точка x0 и се следва кривата с най-голям наклон (показана като червена парабола на схемата вляво и като червена отсечка на схемата вдясно), най-високата точка се означава като x1. От точка x1 отново се следва кривата с най-голям наклон, показана в зелено на схемите. Този алгоритъм се нарича метод на най-бързото изкачване. Ако вместо да се следва точно пътя на най-големия наклон, се избере посока, ортогонална на предходните посоки, методът дава решение за максимум n стъпки, където n е броят на измеренията на E.

Геометрия[редактиране | edit source]

Аналитична геометрия[редактиране | edit source]

Коничните сечения са криви, представляващи сечение на кръгов конус и равнина

В евклидовата геометрия е възможно всяка точка от пространството да се съпоставят определени координати, например чрез използването на ортонормален базис. Този подход дава възможност геометричните фигури да бъдат описвани с помощта на уравнения. Така например, равнина в триизмерното пространство може да се опише като съвкупността от решенията на уравнение от вида a.x + b.y + c.z + d = 0, където a, b, c и d са реални числа, а неизвестните x, y и z са координатите на точките от равнината в избраната координатна система. Числата a, b и c са координати на вектор, перпендикулярен на описваната от уравнението равнина. Правата се дефинира като сечение на две равнини и може да се опише като съвкупността от решенията на линейно уравнение със стойности в ℝ2 или на система от две линейни уравнения със стойности в ℝ, където ℝ е множеството на реалните числа.

Коничните сечения представляват сечения на конус с уравнение x2 + y2 = z2 и равнина — в пространството всяко конично сечение се дефинира като множеството от точки, чиито координати са решения на уравнение на равнина и на посоченото уравнение. Тази форма дава възможност да се определи положението и свойствата на фокусите на коничните сечения.

Декартовото уравнение на окръжността дава възможност за проста демонстрация на теоремата на Талес

С използването на този подход могат да се получат и уравнения, чиято цел не е изразяването на решения, подобни на току що описаните. Пример за това е теоремата на Талес, според която един триъгълник е правоъгълен, ако една от страните му е диаметър на описаната около него окръжност. При подходящ избор на правоъгълна координатна система уравнението на окръжността може да се опише като: x2 + y2 = 1, а точките A и C на схемата вдясно имат координати съответно (-1,0) и (1,0). Ако AB е перпендикулярна на CB, съответните вектори също трябва да са ортогонални. Така с помощта на уравнението на окръжността е лесно да се покаже верността на теоремата:

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB} =\langle(x-1,y),(x+1,y)\rangle = (x+1)(x-1) + y^2 = x^2 + y^2 - 1 = 0 \quad\text{тъй като}\quad x^2 + y^2 = 1

Използването на уравнения дава нови възможности за разрешаване на геометрични задачи. С превръщането на геометричните фигури в уравнения декартовата координатна система преобразува геометричната задача в аналитична, откъдето идва и наименованието на цялата математическа дисциплина - аналитична геометрия. Този подход, демонстриран от Рене Декарт, обогатява и напълно преобразява известната от Античността геометрия.

В наши дни аналитичната геометрия е активно развиващ се клон на математиката. В нейната основа продължава да бъде използването на уравнения за описване на геометрични обекти, но тя прилага и по-сложни методи, базирани на функционалния анализ и линейната алгебра.

Декартови и параметрични уравнения[редактиране | edit source]

Представянето на геометрични фигури като уравнения обикновено става по един от два основни метода. При първия се използва уравнение от вида f(x) = 0, където f е функция от евклидовото пространство E с размерност n в ℝd, а d е естествено число, по-малко от n. Ако f е достатъчно правилна функция, n - d е размерността на геометричната фигура — ако тя е 1, фигурата е крива, при 2 тя е повърхнина и т.н. Такова уравнение може да се представи и като система от d уравнения с реални корени. Този вид уравнения се наричат декартови, ако x е представено чрез координати в декартова координатна система. Всички уравнения в предходния раздел са декартови.

Другият често използван метод се състои в описването на геометричните фигури с помощта на функция f от ℝd в E по такъв начин, че една точка m в E е елемент на фигурата, когато съществува точка x в дефиниционното множество на функцията f, за която f(x) е равно на m. В този случай и при достатъчна правилност на f описаната фигура има размерност d, а уравнението се нарича параметрично. Например, единичната окръжност може да се опише с параметъра θ и параметричните уравнения:

\left\{\begin{matrix}x & = & \cos\theta \\ y& =&\sin\theta\end{matrix}\right.

Ако описваната фигура е достатъчно правилна, например, ако поне локално съответства на дадено многообразие, то е възможно тя да се параметризира. В този контекст локално означава, че ако m е елемент на фигурата, съществува функция f и околност V на точка от дефиниционното множество f, такава че изображението на f остава част от фигурата и такова че изображението на V от f е околност на m във фигурата.

Теория на числата[редактиране | edit source]

Диофантови уравнения[редактиране | edit source]

След многовековни усилия на математическата общност Давид Хилберт пръв успява да намери решение на диофантовото уравнение от втора степен

В исторически план първите формализирани уравнения имат аритметичен характер и датират от 3 век.[9] Ако решението на дадено уравнение се търси не като произволно число, а като цяло число, и ако уравнението е с цели коефициенти, то се нарича диофантово.[10] Описаните по-горе методи по принцип не са достатъчни за решаването на тази група уравнения, за сметка на това са изключително полезни методите на аритметиката. Относително прост пример е линейното диофантово уравнение с две неизвестни a.x + b.y = c.

С увеличаването на степента на диофантовото уравнение решаването му става даеч по-сложно. Дори уравнението от втора степен далеч не е просто в общия случай (вижте например Теорема на Ферма-Ойлер или Уравнение на Пел). Чрез използването на специално създадени за тази цел методи и предпоставки, като метода на безкрайното спускане и малката теорема на Ферма, става възможно да се решат някои частни случаи.

Общото решение на уравнението от втора степен изисква използването на по-сложни методи, като тези на алгебричната теория на числата. Необходими са по-детайлни представи за числовите множества и изследване на крайни полета и цели алгебрични числа с помощта на теорията на Галоа. Така докато решение на алгебричното уравнение от втора степен е намерено от Хорезми още през 8 век, аналогичното диофантово уравнение е решено едва в края на 19 век от Давид Хилберт. Анализът на диофантовите уравнения често е толкова сложен, че се ограничава до определянето на съществуването на решения и техния брой.

Диофантовите уравнения намират широко приложение в областта на информатиката. Инструменти, основани на техния анализ, дават възможност за откриване и поправяне на грешки и са в основата на алгоритмите на криптологията. В основата на много шифри стоят диофантови уравнения, които се описват просто, но чието решаване изисква практически недостижимо време за обработка. Например, уравнението n = x.y, където n е фиксирано естествено число, а x и y са неизвестните, не може да се реши практически, ако n е произведение на две достатъчно големи прости числа. Това уравнение е основата на популярния алгоритъм за шифриране RSA.[11]

Алгебрични и трансценденти числа[редактиране | edit source]

Алгебрична геометрия[редактиране | edit source]

Математически анализ[редактиране | edit source]

Динамични системи[редактиране | edit source]

Бележки[редактиране | edit source]

  1. ((en))  Robert Recorde. // www-gap.dcs.st-and.ac.uk. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland, 2002. Посетен на 5 юли 2011.
  2. ((fr)) Lachaud, Gilles. Équation, mathématique. // Encyclopædia Universalis. Encyclopædia Universalis, 2011. Посетен на 5 юли 2011.
  3. ((en)) Rosen, Frederic (ed.). The algebra of Mohammed ben Musa. London, Oriental Translation Fund, 1831. с. 104.
  4. ((fr)) Guichard, J. P.. Viète inventeur de l'algèbre nouvelle. // CultureMATH. cc-parthenay.fr, 2007. Посетен на 6 юли 2011.
  5. ((fr)) Vandebrouck, F. Introduction de la notion de paramètre au lycée avec un logiciel de géométrie dynamique ou une calculatrice graphique (PDF). // univ-irem.fr. univ-irem.fr, 2011. Посетен на 6 юли 2011.
  6. ((fr)) Freguglia, P.. Sur la théorie des équations algébriques entre le XVI et le XVIIème siècle. // Bollettino di storia delle scienze matematiche 14 (2). 1994. с. 259-298.
  7. ((fr))  Méthode du pivot de Gauss. // La BibM@th. La BibM@th, 2011. Посетен на 7 юли 2011.
  8. ((fr)) Chemla, K. и др. Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires. Paris, Dunod, 2004. ISBN 2100077783.
  9. ((fr))  XII. La première inconnue… (PDF). // irem.univ-poitiers.fr. IREM de Poitiers, 2012. с. 27. Посетен на 2012-11-06.
  10. ((fr)) Dieudonné, Jean. Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900. 1986. с. 227.
  11. ((en)) Rivest, R. и др. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. // Communications of the ACM 21 (2). 1978. с. 120-126.

Вижте също[редактиране | edit source]