Уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

$14 \sqrt x + 15 = 71$
Най-старото известно уравнение, публикувано през 1557 година от Робърт Рекърд, който въвежда и знака „=“ за означаване на равенство^[1]

Динамичните системи се описват с уравнения, чиито решения са функции, като изобразения на графиката странен атрактор

Уравнението е математическо равенство, съдържащо едно или повече променливи. Решаването на уравнението се състои в намирането на стойностите на променливите, за които равенството би било изпълнено. Променливите се наричат също неизвестни, а стойностите, за които равенството е изпълнено - решения на уравнението. За разлика от тъждеството, уравнението е равенство, което не е задължително да бъде изпълнено за всички възможни стойности на променливата.^[2]

Съществува голямо разнообразие от уравнения, които намират приложение в различни области на математиката, като методите за тяхното решаване се различават, в зависимост от вида на уравнението.

В алгебрата се разглеждат две основни групи уравнения - полиномните уравнения и системите линейните уравнения. Полиномните уравнения имат общия вид P(X) = 0, където P е полиномна функция, а системите линейни уравнения - a(x) + b = 0, където a линейно изображение, а b и неизвестното x са вектори. За решаването на алгебричните уравнения се използват алгоритмични или геометрични методи, базирани на линейната алгебра или математическия анализ.

Алгебрата изследва и диофантовите уравнения, при които коефициентите и решенията са цели числа, като при тях се използват различни методи, основани на аритметиката. Тези уравнения обикновено са трудни и най-често при тях се търси само дали съществуват решения и какъв е техния брой.

В геометрията уравненията се използват за описване на различни геометрични обекти. Тук целта не е намирането на решения, а демонстрирането и изследването на определени геометрични свойства. В тази област приложение намират две големи групи уравнения - декартови и параметрични.

Математическият анализ изследва уравнения от вида f(x) = 0, където f е функция с определени свойства, като непрекъснатост и диференцируемост. Методите за решаване на тези уравнения дават възможност за конструиране на сходящи поредици от решения, като целта е да се достигне до възможно най-точното решение.

Динамичните системи се дефинират чрез уравнения, чиито решения са редици или функции на една или повече променливи. В този контекст се разглеждат два основни въпроса - за началното състояние и за асимптотичното поведение. За всяко допустимо начално състояние, например стойността на редицата или функцията в нулата, уравнението допуска определено единствено решение. Чувствителността на решенията към малки промени в началното състояние е една от основните задачи. Асимптотичното поведение на дадено решение е формата на решението при стойности на променливата, клонящи към безкрайност. Ако решението не е разходящо, то може да клони към дадена стойност, да има цикличен характер или да има хаотично поведение.

Съдържание

1 Общи сведения
- 1.1 Неизвестни, решения, тъждествени преобразувания
- 1.2 Параметри
2 Алгебра
3 Геометрия
4 Теория на числата
5 Математически анализ
6 Динамични системи
7 Бележки
8 Вижте също

[редактиране] Общи сведения

[редактиране] Неизвестни, решения, тъждествени преобразувания

Следният пример е взет от книгата „Китаб ал-джабр уал-мукабала“ на Мохамед ал-Хорезми, един от основоположниците на алгебрата^[3]
Един човек умрял и оставил четирима синове и направил на един човек дарение, равно на дела на един от синовете си, и на друг четвърт от разликата между една трета от наследството и първото дарение. Ако x е неизвестното, в случая - делът от наследството, което получава всеки един син, задачата се преобразува в следното уравнение, в което стойността 1 вдясно обозначава 1 наследство: $(1)\quad 4x + x + \frac 14\left(\frac 13-x\right) = 1$

В примера формулираното уравнение означава, че равенството (1) е тъждествено на описаната задача. За да се получи отговора, трябва да се определи единствената стойност на неизвестното x, за която равенството е изпълнено - решение (или корен) на уравнението. Манипулирането на неизвестното дава възможност за решаване на някои уравнения, като представеното тук. Това става чрез преобразуване на уравнението в друго, което е тъждествено на първоначалното.

Две уравнения са тъждествени, ако имат едно и също дефиниционно множество и едни и същи корени. Основните тъждествени преобразувания (начини за получаване на тъждествено на дадено уравнение) са:

Размяна на двете страни на равенството
Добавяне към двете страни на равенството на един и същ аритметичен израз, който не стеснява дефиниционното множество
Умножаване на двете страни на равенството с един и същ аритметичен израз, който е различен от 0 и не стеснява дефиниционното множество (например, умножението с 1/x на уравнение от вида 5x = 0 не е тъждествено преобразувание, защото изключва 0 от дефиниционното множество на променливата x)
Степенуване на двете страни на равенството с една и съща степен, която не стеснява дефиниционното множество

Решаването на уравнението в примера може да стане по следния начин: Опростяване на израза вляво $\frac {19}4 x + \frac 1{12} = 1$ Добавяне на -1/12 към двете страни на равенството $\frac {19}4 x = \frac {11}{12}$ Умножаване с 4/19 на двете страни на равенството $x = \frac {11}{57}$

[редактиране] Параметри

Параметри в уравненията са променливи, които за разлика от неизвестните могат да присъстват и в решението. Такива уравнения се наричат параметрични и са използвани за пръв път през 16 век от Франсоа Виет като средство за общо решаване на цели групи уравнения,^[4] като тези в следния пример:

Пример за параметрично уравнение^[5]
Графиката на функцията f е парабола, показана в синьо на схемата, графиката на g₁(x) е правата в червено, тази на g_-2(x) - във виолетово и тази на g_-1 - в зелено Търси се броят на реалните корени на следните уравнения: $(1)\;x^2=2x + 1,\; (2)\;x^2=2x -2 \;\text{et}\; (3)\;x^2=2x -1$ Задачата може да се реши, като се въведе функцията f(x), която съпоставя на всяко x стойността x². Нейната графика е квадратна парабола, показана в синьо на схемата вдясно. Функцията g₁(x) съпоставя на x стойността 2.x +1 (червената права). Корените на уравнение (1) са абсцисите на пресечните точки на параболата и червената права, като графичното представяне показва, че съществуват две решения, съответстващи на двете пресечни точки. За решаването на уравнение (2) се въвежда функцията g_-2(x), която съпоставя на x стойността 2.x -2 (виолетовата права). Тя не пресича параболата, което означава, че уравнението няма решение. В последния случай се въвежда функцията g_-1(x), която съпоставя на x стойността 2.x -1 (зелената права). Нейната графика е права, успоредна на първите две, която има една обща точка с параболата и съответно третото уравнение има едно решение. Задачата може да се реши по по-общ начин, като в уравненията се въведе параметър a, който може да заема произволни стойности, а трите уравнения се разглеждат като частни случаи при стойности на параметъра a 1, -2 и -1: $(4)\quad x^2=2x +a$

Уравнение (4) се нарича параметрично уравнение, а променливата a - параметър.

[редактиране] Алгебра

[редактиране] Полиномни уравнения

Основна статия: Полиномно уравнение

Графиката на полинома X⁵ - 3X + 2 показва, че той има поне четири корена (петият не се вижда на тази графика), и илюстрира основната теорема на алгебрата в този частен случай

Основна категория уравнения, изследвани от алгебрата, са полиномните уравнения, които имат общия вид:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 \!$

където a_n ≠ 0, а стойността n се нарича степен на уравнението.

Наличието на добре разработени методи за решаването на полиномни уравнения дава възможност за решаването чрез подходяща замяна на неизвестното и на други групи уравнения. Например, уравнението e^2x - (e^a + e^b)e^x + e^a+b = 0 може да бъде трансформирано в полиномно уравнение от втора степен чрез полагането X = e^x.

Решаването на полиномните уравнения от първите няколко степени е сравнително просто. При уравненията от първа степен (линейни уравнения) решението е:

$x = \frac {-a_0} {a_1} \!$

При уравненията от втора степен (квадратни уравнения) корените също може да се получат в явен вид, когато коефициентите и корените са реални числа:

$x = \frac{-a_1 \pm \sqrt{{a_1}^2-4{a_2}{a_0}}}{2{a_2}}$

където условието за реалност на корените е стойността под квадратния корен, наричана дискриминанта, да бъде по-голяма или равна на нула.

Решаването на полиномните уравнения от трета степен (кубични уравнения) е по-сложна задача. Италианските математици през Ренесанса установяват, че получаването на общо решение изисква добавянето към множеството на числата на имагинерните числа.^[6] Това откритие дава възможност за формулирането на затворени решения на уравненията от трета и четвърта степен - съответно формула на Кардано и формула на Ферари.

По-късно е изведена и основната теорема на алгебрата, според която всяко полиномно уравнение от степен по-голяма от нула и с реални или комплексни коефициенти има поне един комплексен корен. Макар че тази теорема гарантира съществуването на решение за много широк кръг полиномни уравнения, тя не предлага явно решение, а наличието на комплексни корени на уравненията с реални коефициенти не е интуитивно очевидно. Теоремата на Абел-Руфини дава обяснение на този факт, като показва, че за полиномните уравнения от по-висока степен не съществува обща формула, подобна на тези за уравненията до четвърта степен. Този извод, до който достига Нилс Абел, е допълнен от Еварист Галоа, който извежда необходимото и достатъчно условие за наличие на решение от подобен вид на полиномните уравнения. В историята на математиката основната теорема на алгебрата и теоремата на Абел-Руфини образуват популярната през 19 век теория на уравненията, която днес не се разглежда като самостоятелна област на математиката.

[редактиране] Системи линейни уравнения

Основна статия: Система линейни уравнения

„Дзиуджан Суаншу“, китайска книга от 2 век пр.н.е., описваща вариант на метода на Гаус за решаване на системи линейни уравнения

Друга група уравнения, изследвани от алгебрата, са векторните линейни уравнения от вида:

$a(x) + b = 0 \!$

където a е линейно изображение на векторното пространство E във векторното пространство F, b е вектор от пространството F, а x е променлива, дефинирана в пространството E.

Ако пространствата E и F са с крайна размерност, съответно n и m, изборът на база на E и F дава възможност изображението a да се представи под формата на матрица (a_jk), x - под формата на вектор стълб с n координати (x_k) и b - като вектор стълб с m координати (b_j). Така векторното линейно уравнение може да бъде записано като система от линейни уравнения:

$\quad \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_n = b_m\end{matrix}\right.$

Системите линейни уравнения намират широко приложение в науката и техниката, често в методи за приблизително решаване на диференциални уравнения, поради което съществуват множество методи за тяхното решаване. В случая, когато размерностите n и m са равни и детерминантата на матрицата a е различна от нула, решението на системата може да бъде получено в явен вид чрез метода на Крамер. Този начин за решаване на системите е неефективен и в практиката по-често се използват итерационни алгоритми, като метода на Гаус.^[7] Неговата цел е да отдели отделните неизвестни, като чрез поредица тъждествени преобразувания получи линейни уравнения с едно неизвестно. Методът на Гаус е известен още през Древността. Негов вариант е описан в Глава 8 на китайската математическа книга от 2 век пр.н.е. „Дзиуджан Суаншу“.^[8]