Лемниската на Бернули

Лемниската на Бернули

Лемниска̀та на Бернули е лемниската, представляваща равнинна алгебрична крива от четвърта степен, която се дефинира геометрично като множество на точките в равнина $\alpha$, произведенията на чиито разстояния до два фокуса в $\alpha$ са равни на квадрата на половината от разстоянието между двете точки ($a^2$).

Уравнения и свойства

Кривата има следните формулни представяния:

• Уравнение в декартови координати: $\left(x^2 + y^2 \right)^2 - 2 a^2 \left(x^2 - y^2 \right) \, = \, 0$
• Уравнение в полярни координати: $r = a \sqrt{2 \cos(2\varphi)}$
• Параметрично уравнение: $x = \frac{a \sqrt{2} \cos t}{1 + \sin^2 t}; \qquad y = \frac{a \sqrt{2} \sin t \cos t}{1 + \sin^2 t}$

Лицето на областта, заградена от лемнискатата на Бернули е $S = 2a^2$. Декартовите координати на фокусите са $F_1 (-a \sqrt{2}; 0)$ и $F_2 (a \sqrt{2}; 0)$.

Лемнискатата на Бернули е частен случай на овала на Касини. Може да се получи при сечение на тор с равнина, успоредна на оста на ротация на тора и съдържаща допирателна към вътрешния му отвор.

Лемнискатата на Бернули може да се представи и като цисоида на две окръжности.

История

Якоб Бернули е дефинирал тази крива през 1694 г., но не е осъзнавал връзката ѝ с овала, който Джовани Касини вече е дефинирал 14 години преди това. Поради приликата ѝ с полегналата цифра 8, кривата може да бъде срещната и като "осмица". През 1750 г. Джулио ди Фаняно намира формулата за лицето на кривата. За времето си задачата за квадратурата на крива, състояща се от няколко "листа", е считана за нерешима, затова на титулната страница на публикацията въодушевеният ди Фаняно пише "Измерена с многократно деление. Слава на истинския бог" ("Multifarum divisa atque dimensa. Deo veritatis gloria").

В практиката лемнискатата на Бернули се използа например при трамвайни релси, когато са необходими закръгляния с малък радиус.

Вижте още

• Лемниската
• Лемниската на Буут
• Лемниската на Героно

Източници

• "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
• "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
• "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
• "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

Външни препратки

• Страница за лемниската на Бернули на сайта на Система Mathematica
• Лемниската на Бернули в xahlee.org
• Интерактивно изображение на Java на лемнискатата на Бернули