Релация

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: разширяване, подобряване. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Релацията представлява връзка между елементи от две или повече множества. Всяко подмножество на декартовото произведение на множествата A₁, A₂,..., A_n (R ⊆ A₁xA₂x...xA_n) се нарича n-местна релация. Казваме, че наредената n-орка (a₁, a₂,..., a_n) принадлежи на релацията R ((a₁, a₂,..., a_n) ∈ R), когато е зададено правило за образуване на връзка между елементите a₁ ∈ A₁,...,a_n ∈ A_n.

Съдържание 1 Бинарна релация 2 Релация над декартов квадрат 2.1 Видове 2.2 Релация на еквивалентност 2.3 Частична наредба 2.4 Пълна наредба

[редактиране] Бинарна релация

Една релация се нарича бинарна (още двуместна или двучленна), когато представлява връзка между елементите на две множества. Има два начина за записване на една бинарна релация, от които по-често се използва вторият:

• (a, b) ∈ R
• aRb

Записът aRb ⇔ P(a, b) се чете: a е в релация R с b, когато съществува връзка P(a, b) между елементите a и b.

Примери: R ⊆ AxB

• aRb ⇔ a и b имат еднакъв цвят
• aRb ⇔ a и b имат общи познати

[редактиране] Релация над декартов квадрат

Релация над декартовия квадрат на дадено множество А, представлява бинарната релация R ⊆ AxA.

[редактиране] Видове

• рефлексивна - ако ∀a∈A (a, а)∈R
• антирефлексивна - ако ∀a∈A (a, а) ∉ R
• симетрична - ако ∀a,b∈A, a и b са различни (a, b)∈R ⇒ (b, а)∈R
• антисиметрична - ако ∀a,b∈A (a, b)∈R ⇒ (b, а)∉R
• силно антисиметрична - ако ∀a,b∈A (a, b)∈R ⇒ (b, а)∉R
• транзитивна - ако ∀a,b,c∈A ((a, b)∈R, (b, c)∈R ⇒ (a, c)∈R)

Примери: R ⊆ ℝxℝ

• aRb ⇔ a < b (антирефлексивна, силно антисиметрична, транзитивна)
• aRb ⇔ a е кратно на b (рефлексивна, антисиметрична, транзитивна)

[редактиране] Релация на еквивалентност

Казваме, че една релация над декартов квадрат е релация на еквивалентност, ако тя е рефлексивна, симетрична и транзитивна.

Примери: R ⊆ ℝxℝ

• aRb ⇔ a = b

[редактиране] Частична наредба

Казваме, че една релация над декартов квадрат е частична наредба, ако тя е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.

Примери: R ⊆ ℝxℝ

• aRb ⇔ a ≤ b

[редактиране] Пълна наредба

Казваме, че една релация над декартов квадрат е пълна наредба, ако тя е рефлексивна, силно антисиметрична и транзитивна.