Математическо доказателство

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Математическо доказателство е убедителното демонстриране че дадено математическо твърдение е вярно по необходимост. В математиката доказателствата се получават чрез дедуктивни разсъждения, а не чрез логическа индукция или по емпиричен път, както в природните науки. При тях се използва логика, но обикновено тя не е формализирана и включва изрази от естествения език, който позволява известна двусмисленост. Чисто формалните доказателства, изписани на изцяло символичен език, са предмет на теорията на доказателствата.

Доказаните твърдения се наричат теореми в математиката, като се приема, че доказателството е изнамерено от някого, някой пръв е извършил доказването. Когато нито утвърждаващото, нито отричащото твърдение все още не са доказани, такова твърдение се нарича хипотеза. Когато в процеса на доказването на теорема се отделят помощни за тях твърдения, по-малко сложни от теоремата, те се наричат леми.

Основни елементи на всяко доказателство[редактиране | edit source]

  • Тезис – съждение, което се доказва.
  • Основание – доводи, аргументи, известни съждения, които се използват за установяване верността на тезиса.
  • Правила за извод и закони от логиката, които определят реда и начина на съчетаване на основанията, чрез които се установява верността на тезиса.

Видове математически доказателства[редактиране | edit source]

В зависимост от това, дали при доказването на твърдението се използва или не се използва неговото отрицание, математическото доказателство е пряко или косвено. Такова доказателство, при което се доказва неверността на отрицанието на дадено твърдение, се нарича косвено. Доказателство, в което не се използва доказване неверността на никое твърдение, се нарича пряко.

Структура на пряко доказателство[редактиране | edit source]

Твърдението може да бъде изказано в категорична форма или в условна форма. Всяка категорична форма може да бъде трансформирана в условна, т.е. като импликация p → q. Доказването на верността на една импликация се основава на хипотетичния силогизъм.

\frac{p \rightarrow p_1, p_1 \rightarrow p_2, ... , p_k \rightarrow q}{p \rightarrow q}

Доказването на твърденията p → q се свежда до намиране на различни импликации

p \rightarrow p_1, p_1 \rightarrow p_2, ... , p_k \rightarrow q\,,

където някои импликации е възможно да са конюнкции от други съждения, и схемата става по-сложна; следва подреждането на импликациите в съответен ред и прилагане на правилото. Всяка от използваните импликации се основава на позната аксиома, предварително доказана вече теорема или на познато определение.

Исторически съществуват три схеми на разсъждения за извършване на тези дейности.

Импликациите се откриват отзад напред, като първо се откриват обратните им. Съществуват изследвания, че тази схема се използва и преди Евклид, още през пети век пр.н.е. в школата на Платон. Има вида:

Ако е вярно q, то вярно е pk.
q \rightarrow p_k\,
Ако е вярно pk, то вярно е pk-1.
p_k \rightarrow p_{k-1}\,
......
Ако е вярно p1, то вярно е p.
p_1 \rightarrow p\,

Следователно, ако е вярно q, то вярно е и p.

q \rightarrow p\,

За доказване на твърдението се използват обратните импликации на откритите, проверява се верността им, подреждат се в обратен ред и се прави необходимият извод. При тази схема доказателството се разчленява на отделни стъпки (импликации), затова се възприема, че чрез схемата на Евклид се прави анализ на доказателството, а след като с проверката на верността на обратните импликации на откритите и подреждането им в обратен ред, се получава самото доказателство, по този начин се извършва синтез на доказателството. Така в схемата на Евклид се съдържа и схемата на синтеза.

  • Схема на синтеза
Тъй като е вярно p, то вярно е p1.
p \rightarrow p_1\,
Тъй като е вярно p1, то вярно е p2.
p_1 \rightarrow p_2\,
......
Тъй като е вярно pk, то вярно е q.
p_k \rightarrow q\,

Следователно, тъй като е вярно p, то вярно е и q.

p \rightarrow q\,

Често схемата на синтеза се използва и без преди това да е използвана първата част от схемата на Евклид за анализ на доказателствата. Това са случаи, при които извършващият доказателството е достатъчно трениран в провеждането на подобни доказателства.

За да е вярно q, достатъчно е да е вярно pk.
p_k \rightarrow q\,
За да е вярно pk, достатъчно е да е вярно pk-1.
p_{k-1} \rightarrow p_k\,
......
За да е вярно p1, достатъчно е да е вярно p.
p_1 \rightarrow p\,

Следователно, за да е вярно q, достатъчно е да е вярно p.

p \rightarrow q\,

При използването на схемата на Пап се вижда, че направо се откриват необходимите импликации, но в обратен ред. Затова е достатъчно само да се обърне „редът“, в който тези импликации са открити.

Трябва да се отбележи, че при използването на схемите често се извършва известното от психологията „съкращаване на действията“, т.е. не винаги се пише и изговаря задължително всичко. Важно е да се спазва съответната насоченост на разсъжденията - така определена схема е проведена.

Предимства и недостатъци на трите схеми[редактиране | edit source]

От дидактична гледна точка най-стройна е схемата за синтеза - при нея направо се получава необходимото доказателство. За неподготвените в извършване на математически разсъждения хора то е изкуствено и трудно.

Разсъжденията по схемата на Евклид не осигуряват директно необходимите междинни импликации, но е по-ясна връзката между основната цел (твърдението q) и междинните импликации, защото се тръгва от q. В тази връзка схемата на Евклид изглежда по-лесна от схемата на синтеза.

Най-естествена и лесна се оказва схемата на Пап. При нея при откриването на всяка междинна импликация ясно се поставя целта (твърденията p1, p2, ..., pk), направо се посочва връзката на първата цел (твърдението pk), оттам и на всяка следваща цел с основната цел (твърдението q). Недостатък на схемата на Пап е, че за да се получи в стегнат вид, импликациите трябва „да се пренаредят“.[1]

Структура на косвените доказателства[редактиране | edit source]

Действия:

  • Образуване отрицанието ¬q на твърдението q, което трябва да се докаже, че е вярно, след като е вярно твърдението p.
  • Доказване неверността на образуваното отрицание ¬q.
  • Извод за верността на самото твърдение q въз основа на закона за изключеното трето.

За доказване неверността на едно твърдение обикновено се използва модус толенс, т.е. отричането на консеквента (последователността) на една истинна импликация води до отричането на антецедента (предходния факт).

Опровержението на неистинно твърдение може да се извърши пряко или косвено.

Към прякото опровержение спадат: опровержение с факти, критика на аргументите, критика на използвана демонстрация. Към косвеното опровержение спада опровержение чрез свеждане към абсурд.[2]

Според закона за изключеното трето (лат – Les exclusi tertii sive medii inter duo contradictiria) от две противоречащи си твърдения в едно и също време и в едно и също отношение (за един и същи предмет), едното непременно е вярно, изключена е трета възможност.

От дидактична гледна точка, при еднаква сложност, косвените доказателства са по-трудни от преките.

Забележителни факти[редактиране | edit source]

Пример за дългогодишни усилия, в продължение на стотици години, да се опише математическо доказателство, е Великата теорема на Ферма, формулирана още през седемнадесети век. Множество математици правят опити да опишат нейното доказателство, някои допускат грешки, после ги откриват или твърде бързо се опровергават вариантите на техните доказателства от колегите им. Все още продължават да постъпват нови предложения, най-често - с грешки и пропуски за тази вече доказана теорема.[3][4]

Източници[редактиране | edit source]

  1. Ганчев, И. и колектив. Методика на обучението по математика, Макрос 2000, Пловдив, 1997, с.90-99
  2. Герчева-Несторова, Г. и колектив. Психология и логика, учебник за девети клас, задължителна подготовка, Педагог 6, София, 2001, с. 191, 220
  3. Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма, сп. „Квант“, 1972, т. 8, с. 23-25. Посетени на 6.12.2011 г.
  4. Цымбалов, А. С. Теорема Ферма. Доклад от конференция. Современная гуманитарная академия. Посетена на 6.12.2011 г.