Парадокс на Ръсел

Парадоксът на Ръсел е един много прост парадокс от теорията на множествата, изиграл важна роля във нейното формиране. Парадоксът е формулиран около 1901 г. от Бертран Ръсел.

Постановка на парадокса

Парадоксът на Ръсел може да бъде изразен така „Нека вземем множеството от множествата, които не принадлежат на себе си. Принадлежи ли то на себе си?“. Или нека имаме $A = \{B | B \notin B\}$, то тогава $A \in A \Leftrightarrow A \notin A$. Ако отговорим с „да“ на горния въпрос, ще получим, че тъй като по дефиниция елементите на това множество не принадлежат на себе си, те не принадлежат и на множеството, в което са, т. е. имаме противоречие. А ако отговорим с „не“ на същия въпрос, имаме свойството A да принадлежи на себе си и отново изпадаме в противоречие.

Парадоксът показва, че наивната теория на множествата в смисъла на Кантор е противоречива теория. Проблемът идва от там, че считаме, че можем да построим множество въз основата на всяко свойство. Така някои от тези свойства (и това именно е случаят в парадокса на Ръсел) генерират нестабилни самопрепращащи се цикли и съответно би трябвало те да бъдат изключени.

Решения

Първото решение е теорията на типовете на Ръсел, според която множествата са с йерархични типове. Дадено множество може да съдържа само обекти стриктно по-малки от него самото. По този начин парадоксът на Ръсел просто не може да бъде конструиран.

Второто решение се състои в ограничаване на принципа за формиране на множества : предикатите не дефинират множества, а отделят в едно вече съществуващо множество елементите, които притежават дадено свойство.