Парадокс на Ръсел

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Парадоксът на Ръсел е един несложен парадокс от теорията на множествата, изиграл важна роля във нейното формиране. Парадоксът е открит около началото на века от Ернст Цермело[1] и дискутиран в кръга около Давид Хилберт. В средата на 1901 г. Бертран Ръсел самостоятелно достига до същата идея, съобщава я на Готлоб Фреге през следващата година и пръв я публикува в 1903г[2].

Постановка на парадокса[редактиране | edit source]

Парадоксът на Ръсел може да бъде изразен така „Нека вземем множеството от множествата, които не принадлежат на себе си. Принадлежи ли то на себе си?“. Или нека имаме A = \{B | B \notin B\}, то тогава A \in A \Leftrightarrow A \notin A. Ако отговорим с „да“ на горния въпрос, ще получим, че тъй като по дефиниция елементите на това множество не принадлежат на себе си, те не принадлежат и на множеството, в което са, т. е. имаме противоречие. А ако отговорим с „не“ на същия въпрос, имаме свойството A да принадлежи на себе си и отново изпадаме в противоречие.

Парадоксът показва, че наивната теория на множествата в смисъла на Кантор е противоречива теория. Проблемът идва от там, че считаме, че можем да построим множество въз основата на всяко свойство. Така някои от тези свойства (и това именно е случаят в парадокса на Ръсел) генерират нестабилни самопрепращащи се цикли и съответно би трябвало те да бъдат изключени.

Решения[редактиране | edit source]

Първото решение е теорията на типовете на Ръсел, според която множествата са с йерархични типове. Дадено множество може да съдържа само обекти стриктно по-малки от него самото. По този начин парадоксът на Ръсел просто не може да бъде конструиран.

Второто решение се състои в ограничаване на принципа за формиране на множества [3]: предикатите не дефинират множества, а отделят в едно вече съществуващо множество елементите, които притежават дадено свойство.

Бележки[редактиране | edit source]

  1. B. Rang and W. Thomas, Zermelo's discovery of the "Russell Paradox" , Historia Mathematica, v. 8 n. 1, 1981, pp. 15–22.
  2. Russell B., Principles of Mathematics, London, 1903
  3. en:Axiom_schema_of_specification