Метод с възловите потенциали

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Общи сведения[редактиране | edit source]

Фиг.1 - Клон от електрическа верига с източник на е.д.н.

Метод с възловите потенциали е метод за анализ на електрически вериги, използван за намиране на електрическите потенциали във всички точки (възли) на веригата при дадени проводимости на клоновете на веригата и източници на ток и/или напрежение.

В сравнение с други методи за анализ на електрически вериги (метод с контурните токове, директно прилагане на първи и втори закони на Кирхоф) методът използва най-малка система уравнения. При метода с възловите потенциали броят на уравненията, необходими за определяне на напреженията и съответно на токовете на веригата чрез първия (относно сумата на токовете във възел) и втория (относно сумата на напреженията по затворен контур) закони на Кирхоф се намалява до брой уравнения, равен на броя възли минус 1, описващи напреженията и токовете само на възлите на веригата.

Методът се основава на първия закон на Кирхоф или на това, че сумата на всички входящи и изходящи токове на даден възел е равна на нула (виж фиг.1):

\sum_{s=1,s\ne p}^n i_{ps}=0
i_{ps}=G_{ps}(V_p-V_s+e_{ps})
\sum_{s=1,s\ne p}^n i_{ps}=\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}(V_p-V_s+e_{ps})=0
\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}V_p-\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}V_s=-\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}e_{ps}=\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}e_{sp},
Където:
i_{ps} - ток през клона ps, A
G_{ps}=\frac{1}{R_{ps}} - електрическа проводимост (мерна единица сименс [S=1/Ohm]) на клон ps
R_{ps} - електрическо съпротивление на клон ps, Ohm
V_p - електрически потенциал на възел p, V
V_s - електрически потенциал на възел s, V
e_{ps} - електродвижещо напрежение е.д.н. в клон ps, V
n - брой възли

Методът се използва в някои съвременни програми за моделиране на електрически вериги с електронни компоненти (софтуер от серията spice).

Алгоритъм[редактиране | edit source]

1) Избира се възел от електрическата верига, на който се задава електрически потенциал нула,  V_n = 0
2) При наличие на паралелни клонове във веригата, то те трябва да се обединяват в еквивалентен клон
3) За всички възли с изключение на нулевия се записват уравненията (n-1 уравнения с n-1 неизвестни, в матричен вид G*V=G1*e, матрицата на проводимостите G е с размерност n-1xn-1)
\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}V_p-\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}V_s=\sum_{s=1,s\ne p}^n G_{ps}e_{sp}
4) Решава се системата и се определят потенциалите на n-1 възела
5) За всеки клон се записва обобщения закон на Ом, чрез който се намира тока:
i_{ps} = \frac{V_p - V_s + e_{ps}}{R_{ps}}
Особености
а) Когато във веригата има идеални източници на ток то те се прибавят в дясната част на уравненията съотетстващи на възлите, към които е свързан идеалния източник на ток (със знак плюс когато токът на източника е към възела и минус когато е от възела).
б) при наличие във веригата на клон с идеален източник на е.д.н., то за възел с нулев потенциал се избира възел свързан с такъв източник.
в) методът с възлови потенциали не може да се използва пряко във вериги с индуктивна връзка (при такива случаи веригата трябва да се преобразува)

Пример[редактиране | edit source]

Фиг.2 - Електрическа верига с 3 възела и 5 клона

За веригата от Фиг. 2 по метода на възловите потенциали се записват следните уравнения:

(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})V_1-\frac{1}{R_3}V_2=\frac{e_1}{R_1}
(\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}+\frac{1}{R_5})V_2-\frac{1}{R_3}V_1=\frac{e_2}{R_5}