Неравенство на Йенсен

Необходимо и дотатъчно условие една функция $f(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ да е изпъкнала в интервала $I$ е за всеки набор от $n$ числа $x_1,x_2,\dots,x_n\in I$ да е изпълнено за някакви $a_1,a_2,\dots,a_n >0$ със сума $a_1+a_2+\cdots+a_n =1$, че

$a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+\cdots+a_nf(x_n)\ge f\left(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\right)$

Доказателство: При $n=2$ получаваме критерия за изпъкналост по дефиниция.

Ако твърденито е вярно за $n-1$ тогава $a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} =1$. Нека $a_{n-1}=a_{n-1}'+a_{n}'$. Следователно последователно получаваме:

$a_1f(x_1)+\cdots+a_{n-1}'f(x_n)+a_n'f(x_{n-1})\ge a_1f(x_1)+\cdots+(a_{n-1}'+a_n')f\left(\frac{a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n}{a_{n-1}'+a_n'} \right)=$ $=a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+\cdots+a_{n-1}f\left(\frac{a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n}{a_{n-1}}\right)\ge f\left(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{n-1}\frac{a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n}{a_{n-1}}\right)=$ $=f\left(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n\right)$

Следователно неравенството следва по индукция.

Алтернативно доказателство може да се извърши и като използваме тегловата форма на неравенството на Карамата.

Вижте също

• Неравенство на Карамата