Неравенство на Йенсен

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Необходимо и дотатъчно условие една функция f(x):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} да е изпъкнала в интервала I е за всеки набор от n числа x_1,x_2,\dots,x_n\in I да е изпълнено за някакви a_1,a_2,\dots,a_n >0 със сума a_1+a_2+\cdots+a_n =1, че

a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+\cdots+a_nf(x_n)\ge f\left(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\right)

Доказателство: При n=2 получаваме критерия за изпъкналост по дефиниция.

Ако твърденито е вярно за n-1 тогава a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} =1. Нека a_{n-1}=a_{n-1}'+a_{n}'. Следователно последователно получаваме:

a_1f(x_1)+\cdots+a_{n-1}'f(x_n)+a_n'f(x_{n-1})\ge a_1f(x_1)+\cdots+(a_{n-1}'+a_n')f\left(\frac{a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n}{a_{n-1}'+a_n'} \right)=
=a_1f(x_1)+a_2f(x_2)+\cdots+a_{n-1}f\left(\frac{a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n}{a_{n-1}}\right)\ge f\left(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{n-1}\frac{a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n}{a_{n-1}}\right)=
=f\left(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{n-1}'x_{n-1}+a_n'x_n\right)

Следователно неравенството следва по индукция.

Алтернативно доказателство може да се извърши и като използваме тегловата форма на неравенството на Карамата.

Вижте също[редактиране | edit source]