Скобки на Поасон

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Скобките на Поасон са важен оператор в хамилтоновата механика, играещ централна роля в описанието на времевата еволюция на динамичните системи във формулировката на Хамилтон. В по-общ планк, скобките на Поасон се използват при дефинирането на алгебра на Поасон, а многообразието на Поасон е неин частен случай. Те са наречени на френския математик Симеон Дени Поасон.

Обобщени координати[редактиране | edit source]

В обобщените координати (q_i,p_j) на фазовото пространство, скобките на Поасон на две функции f(p_i,q_i,t)\, и g(p_i,q_i,t)\, се записват:

\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ 
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right].

Уравнения на движението[редактиране | edit source]

Пълният диференциал на дадена функция във фазовото пространство може още да бъде записан със скобките на Поасон. Нека f(p,q,t) е функция, дефинирана върху дадено многообразие. Пълният ѝ диференциал има вида:

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + 
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.

Ако заместим в горното уравнение обобщените координати p=p(t) и q=q(t) с техните изрази в уравненията на Хамилтон-Якоби (\dot{q}={\partial H}/{\partial p} и \dot{p}=-{\partial H}/{\partial q}), получаваме:

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} -
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = 
\frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}.

Следователно, изменението с времето на дадена функция f, дефинирана на симплектично многообразие може да бъде описано от поток. В запис, независим от избора на координатна система, изразът на пълния диференциал на функцията придобива вида:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=
\left(\frac{\partial }{\partial t}  - \{\,H, \cdot\,\}\right)f.

Операторът - \{\,H, \cdot\,\} се нарича още Оператор на Лиувил.

Константи на движението[редактиране | edit source]

Дадена интегрируема система може да притежава константи на движението, различни от енергията. Такива константи на движението трябва да комутират с хамилтониана в смисъла на скобките на Поасон. Нека f(p,q) е константа на движението. Следователно, наредената двойка p(t),q(t) е траектория, или двойка решения на уравненията на Хамилтон-Якоби, а нейният пълен диференциал е равен на нула: 0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}. Като заместим с уравненията на Хамилтон-Якоби, получаваме:

0 = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q) = 
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + 
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} =
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} -
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = 
\{f,H\}

Това уравнение е познато като уравнение на Лиувил. Теоремата на Лиувил гласи, че времевата еволюция на дадена динамична система се определя от уравнението на Лиувил.

Общи свойства[редактиране | edit source]

  • Скобките на Поасон притежават свойството антисиметричност[1](Понякога наричано и „кососиметричност” [2] ):
    \{A,B\} \ = \ - \ \{B,A\}
  • Скобките на Поасон удовлетворяват тъждеството на Якоби:
 \{A,\{B,C\}\} \  + \ \{B,\{C,A\}\} \  + \ \{C,\{A,B\}\} \ = \ 0
  • Обобщените координати са свързани с уравнението :
     \{q^j,p_k\} \ = \ \delta^j_k

Уравнения на Хамилтон-Якоби[редактиране | edit source]

Нека H(q^i,p_i) е хамилтониана на разглежданата система. Уравненията на Хамилтон-Якоби могат да бъдат записани със скобките на Поасон:

\dot{q}^j \ = \  \{q^j,H\} \ = \ \frac{\partial H}{\partial p_j}

и :

\dot{p}_j  \ = \ \{p_j,H\} \ = \ - \ \frac{\partial H}{\partial q^j}

Квантов еквивалент[редактиране | edit source]

В квантовата механика, комутаторът на две наблюдаеми X и Y е пропорционален на техните скобки на Поасон:

 \{X,Y\} \ \to \ \frac{1}{i\hbar} \ [\widehat{X},\widehat{Y}]

където с  [.,.] е обозначен комутаторът. По този начин получаваме комутационните съотношение на наблюдаемите във формализма на Хайзенберг. Същата стратегия може да бъде приложена при квантуването на електричното поле, например.

Източници[редактиране | edit source]

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Физматгиз, 1958. («Теоретическая физика», том I).
  1. . „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-ХР
  2. Марков, К.. Записки по Механика на непрекъснатите среди (pdf). // сайт на СУ, май 2002. Посетен на 25.06.2008.

Вижте също[редактиране | edit source]