Точки на Лагранж

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Точки на Лагранж е термин в астрономията и математиката, отнасящ се за система от три тела при който всички параметри на движението по кръгова орбита остават постоянни във времето. Важно условие е масата на първото тяло да е многократно по-голяма от тази на второто тяло, а масата на третото тяло може да бъде пренебрежима.

История[редактиране | edit source]

С решението на подобни задачи през 18 ти век се е заел великият френски математик, механик и астроном Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813). Роден в Торино, той за кратък период от време става член на Берлинската и Парижката Академия на науките, като междувременно основава Торинската Академия. На него принадлежат водещи изследвания в областта на вариационните изчисления, аналитичната механика, различни въпроси на математическият анализ, теория на числата, методи по решения на числените уравнения и т.н. Заедно с Пиер-Симон Лаплас има големи заслуги по завършването на стройната система на класическата небесна механика, започната от Исак Нютон. На Лагранж принадлежи и развитието и усъвършенството на предложените от Леонард Ойлер вариационни принципи - едни от най-важните в небесната механика.

Теорема[редактиране | edit source]

Точки на Лагранж

Разглеждайки движението на частици с нулева маса под въздействието на привличане от две материални тела, описващи кръгови орбити около една обща централна маса, Лагранж установил че съществуват пет непроменящи се точки, независими от движението на системата. В случай на попадане на частица с нулева маса в някоя от тези точки, тя се оказва в равновесно състояние спрямо движещата се система, като периодите на обръщане на нейната орбита съвпадат помежду си и по отношение на останалите тела тя се намира в едно и също положение.

Всички точки в тази система са разположени в плоскостта на орбитата на масивните тела. Три от тези точки са разположени в една линия, преминаваща през всяко от масивните тела М1 и М2. Точките L3 и L2, се намират от двете срещуположни страни на телата М1 и М2, като L3 се намира от външната страна на по-масивното тяло М1, L2 от външната страна на по-малкото тяло М2, а точка L1 се намира между тях, по-близо до тялото на М2. Разстоянието от центъра на масата на системата до тези точки се изчислява по следната формула:

 r_1 = R \left[ 1 - \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right]
 r_2 = R \left[ 1 + \left( \frac{\alpha}{3} \right)^{1/3} \right]
 r_3 = -R \left[ 1 - \frac{5}{12} \alpha  \right]

където

 \alpha = \frac{M_2}{M_1+M_2} ,
R — разстояние между телата,
M1 — маса на по-масивното тяло,
M2 — маса на второто тяло.


Ако M2 е много по-малко от M1, точките L1 и L2 ще се намират на примерно равно разстояние от тялото M2:

r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}

Другите две точки L4 и L5 са разположени на върха на равностранни триъгълници с основа, съвпадаща с разстоянието между двете масивни тела. Ако се приеме, че масата на едно от телата е многократно по-голяма от тази на второто, точките L4 и L5 са разположени на орбита от 60° отпред и отзад на по-малкото тяло М2, образувайки равностранни триъгълници.

Теория[редактиране | edit source]

Гравитационните сили на L4

През 1772 г. използвайки своите математически изчисления Лагранж предсказал, така да се каже, мястото на откритите през 1906 г. в точки L4 и L5 в системата Слънце - Юпитер тъй наречени "Троянски астероиди". До този момент са регистрирани около 65 като се предполага че техният брой може да достигне до две-три хиляди. Ахил, Хектор, Нестор, Агамнемон, Одисей, Аякс, Антилох, Диомед, Менелай и др. са на 60° отпред а Патрокъл, Приам, Еней и др. са на 60° отзад на така представената система.

Точки на Лангранж в киното и фантастиката[редактиране | edit source]

  • Точката на Лагранж - Любен Дилов - " Хумористични фантастични новели " изд. Български писател 1983 г.