Условна вероятност

Условна вероятност е вероятността за настъпване на събитието А, при условие, че В е настъпило. Означава се с P(A|B) и се чете "Условна вероятност на събитието А по отношение на събитието В" .

Определение

Математическото определение за условна вероятност се записва по следния начин:

$\Pr(A \mid B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)},\Pr(B)>0.$

Където $\Pr(A \cap B)$ е общата вероятност двете събития да са се сбъднали, а Pr(B) e вероятността да се е сбъднало събитието В без оглед на другите обстоятелства.

Трябва да се отбележи, че в горните определения не се въвеждат никакви времеви причинно-следствени връзка между събитията А и В. Както А може да предхожда В, така и обратно.

Въвеждането на условности във вероятностите се осъществява с теоремата на Бейс.

Независимост на две събития

Две събития $A,B \in\mathfrak{A}$ се наричат независими, тогава и само тогава, когато:

$\Pr(A \cap B) = \Pr(A) \Pr(B).$

От математическото определение на условните вероятности очевидно следва, че:

$\Pr(A|B) \ = \ \Pr(A)$

и

$\Pr(B|A) \ = \ \Pr(B).$

Следствия

За две независими събития $A,B \in\mathfrak{A}$ е в сила:

1. $A^c$ e независимо от $B$.

2. $A$ e независимо от $B^c$.

3. $A^c$ e независимо от $B^c$.

Независимост на $\sigma$-Алгебри

Две $\sigma$-Алгебри $\mathfrak{A}_1,\mathfrak{A}_2\in\mathfrak{A}$ се наричат независими ,тогава и само тогава, когато:

$\forall A_1\in\mathfrak{A}_1,\forall A_2\in\mathfrak{A}_2$: Събитие $A_1$ е независимо от събитие $A_2$.

Допълнителни формули

1.$\Pr(A) = \Pr(A|B)\Pr(B)+\Pr(A|B^c)\Pr(B^c).$

2.$\Pr(A_1\cap ....\cap A_n)=\Pr(A_1)\Pr(A_2|A_1)...\Pr(A_n|A_1\cap A_2 \cap...\cap A_{n-1}).$

3.$\forall A,B\in\mathfrak{A},\Pr(A)>0,\Pr(B)>0$ :

$\Pr(A|B) = \frac{\Pr(B | A) \Pr(A)}{\Pr(B)}.$ (Формула на Бейс)

Примери

1. Нека разгледаме най-простия пример:този на еднократно хвърления зар. Дадено е вероятностно пространство $(\Omega,\mathfrak{A},\Pr)$,където $\Omega=\left\{1,2,...,6 \right\},\mathfrak{A}=\left\{\empty,\Omega, \left\{2,4,6 \right\}, \left\{ 1,3,5 \right\}\right\},\Pr\left\{i\right\}=\frac{1}{6}$. Интересува ни каква е вероятността да сме хвърлили двойка при положение, че знаем че хвърления зар е четен.

В случая ${A}=\left\{2\right\},{B}=\left\{2,4,6\right\}$. Тогава:

$\Pr(A \mid B) = \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)}= \frac{\Pr( \left\{ 2 \right\} \cap \left\{ 2,4,6\right\})}{\Pr( \left\{ 2,4,6 \right\})}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.$

Външни препратки

• Условна вероятност, Формула на Бейс, лекции по вероятности на проф. Димитър Въндев