Функциите „скобки“ или функционални скобки са математически функции , с които се обозначават най-близките цели числа до дадено число или дробната му част.долни скобки
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
средни скобки
[
x
]
{\displaystyle [x]}
най-голямото цяло число , което не надвишава (тоест е по-малко от или равно на)
x
{\displaystyle x}
[1] горните скобки
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil }
най-малкото цяло число , което е по-голямо от или равно на
x
{\displaystyle x}
големи скобки
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
дробната част на
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
реално число .
Графика на функциите ⌅x ⌆ и ⌇x ⌈ . Функцията „долни скобки“ (подови скобки английски : floor – под ) или средни скобки е функция, която се обозначава с
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
[
x
]
{\displaystyle [x]}
програмирането
f
l
o
o
r
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {floor} (x)}
[2]
Функцията е дефинирана по следния начин:
За едно реално число
x
{\displaystyle x}
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
цяло число , което е по-малко или равно на
x
{\displaystyle x}
или
⌊
x
⌋
:=
max
{
n
∈
Z
|
n
≤
x
}
{\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\max \lbrace n\in \mathbb {Z} |n\leq x\rbrace }
Обозначението
[
x
]
{\displaystyle [x]}
Карл Фридрих Гаус .[3]
Примери:
⌊
2
,
8
⌋
=
2
{\displaystyle \lfloor 2,8\rfloor =2}
⌊
−
3
,
1
⌋
=
−
4
{\displaystyle \lfloor -3,1\rfloor =-4}
⌊
π
⌋
=
3
{\displaystyle \lfloor \pi \rfloor =3}
⌊
e
⌋
=
2
{\displaystyle \lfloor e\rfloor =2}
⌊
5
⌋
=
5
{\displaystyle \lfloor 5\rfloor =5}
⌊
4
1
2
⌋
=
4
{\displaystyle \lfloor 4{\frac {1}{2}}\rfloor =4}
⌊
−
3
2
5
⌋
=
−
4
{\displaystyle \lfloor -3{\frac {2}{5}}\rfloor =-4}
1. За всяко цяло число
x
{\displaystyle x}
[
x
]
=
x
{\displaystyle [x]=x}
2. Вярно е и обратното: Ако
[
x
]
=
x
{\displaystyle [x]=x}
x
{\displaystyle x}
3. За произволни реални числа
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[
x
]
+
[
y
]
⩽
[
x
+
y
]
[
x
]
+
[
y
]
⩽
[
x
+
y
]
{\displaystyle \quad [x]+[y]\leqslant [x+y][x]+[y]\leqslant [x+y]}
4. За произволни реални числа
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
[
x
+
y
]
⩽
[
x
]
+
[
y
]
+
1
[
x
+
y
]
⩽
[
x
]
+
[
y
]
+
1
{\displaystyle [x+y]\leqslant [x]+[y]+1[x+y]\leqslant [x]+[y]+1}
5. За произволно реално
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
[
x
+
n
]
=
[
x
]
+
n
[
x
+
n
]
=
[
x
]
+
n
{\displaystyle \quad [x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n}
Функцията „горни скобки“ (също изписана като ceiling ) е дефинирана така:
За едно реално число
x
{\displaystyle x}
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil }
цяло число , което е по-голямо или равно на
x
{\displaystyle x}
или
⌈
x
⌉
:=
min
{
n
∈
Z
|
n
≥
x
}
{\displaystyle \lceil x\rceil :=\min \lbrace n\in \mathbb {Z} |n\geq x\rbrace }
На български език индивидуални имена за горната скобка не са често срещани; в тази статия се ползва горни скобки с обратното име долни скобки , по подобен начин както
f
l
o
o
r
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {floor} (x)}
c
e
i
l
i
n
g
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {ceiling} (x)}
под и таван . Имената най-вероятно идват от действието на функциите: те са като горната и долната граница на цялата част на
x
{\displaystyle x}
Примерни стойности на
x
{\displaystyle x}
⌈
x
⌉
{\displaystyle \lceil x\rceil }
⌈
2
,
1
⌉
=
3
{\displaystyle \lceil 2,1\rceil =3}
⌈
−
4
,
5
⌉
=
−
4
{\displaystyle \lceil -4,5\rceil =-4}
⌈
π
⌉
=
4
{\displaystyle \lceil \pi \rceil =4}
⌈
e
⌉
=
3
{\displaystyle \lceil e\rceil =3}
⌈
1
⌉
=
1
{\displaystyle \lceil 1\rceil =1}
⌈
6
2
3
⌉
=
7
{\displaystyle \lceil 6{\frac {2}{3}}\rceil =7}
⌈
−
8
3
4
⌉
=
−
8
{\displaystyle \lceil -8{\frac {3}{4}}\rceil =-8}
Дробната част
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
x
{\displaystyle x}
[1]
{
x
}
=
x
mod
1
=
x
−
⌊
x
⌋
{\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor }
или
⌊
x
⌋
+
{
x
}
=
x
{\displaystyle \quad \lfloor x\rfloor +\{x\}=x}
От определението за дробна част следва, че
0
≤
{
x
}
<
1
{\displaystyle \quad 0\leq \{x\}<1}
Примери:
{
3
}
=
0
{\displaystyle \{3\}=0}
{
4
,
5
}
=
0
,
5
{\displaystyle \{4,5\}=0,5}
{
π
}
=
0
,
1415926...
{\displaystyle \{\pi \}=0,1415926...}
{
e
}
=
0
,
718281828459...
{\displaystyle \{e\}=0,718281828459...}
{
11
3
}
=
11
3
−
3
=
2
3
{\displaystyle \left\{{\tfrac {11}{3}}\right\}={\tfrac {11}{3}}-3={\tfrac {2}{3}}}
{
−
11
3
}
=
−
11
3
−
⌊
−
11
3
⌋
=
−
3
2
3
−
(
−
4
)
=
1
3
{\displaystyle \left\{-{\tfrac {11}{3}}\right\}=-{\tfrac {11}{3}}-\lfloor -{\tfrac {11}{3}}\rfloor =-3{\tfrac {2}{3}}-(-4)={\tfrac {1}{3}}}
{
−
1
,
05
}
=
−
1
,
05
−
⌊
−
1
,
05
⌋
=
−
1
,
05
−
(
−
2
)
=
0
,
95
{\displaystyle \;\{-1,05\}=-1,05-\lfloor -1,05\rfloor =-1,05-(-2)=0,95}
Понякога
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
x
{\displaystyle x}
{
−
1
,
05
}
=
0
,
05
{\displaystyle \{-1,05\}=0,05}
![{\displaystyle [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
![{\displaystyle [x]=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ca5f1f1a0c6981af83b131fdd098175c7d8661)
![{\displaystyle \quad [x]+[y]\leqslant [x+y][x]+[y]\leqslant [x+y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9145115e813fd43acd9ba861e721c80e38877f)
![{\displaystyle [x+y]\leqslant [x]+[y]+1[x+y]\leqslant [x]+[y]+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93850e69db3fb2c3b62fbbf8dc8ff8165f30ef50)
![{\displaystyle \quad [x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770ecaec930a18c4dda0ef3ac4a81e832f14f43c)
