Апроксимация

Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:

• числени методи и функционален анализ, които се занимават с апроксимация на функции (най-честата употреба на термина);
• геометрия и топология, в които се разглежда апроксимацията на криви, повърхнини, пространства и изображения;
• теория на числата, където класически пример е апроксимацията на ирационални числа с рационални (т.нар. Диофантово приближение).

Апроксимиране на реалните числа с рационални

Теорема 1. Нека $x$ е реално число, а $n$ - естествено. Тогава съществуват естествени числа $p$ и $q$, за които $1 \le q \le n$ и $(1):$

$|x-\frac{p}{q}|\le\frac{1}{nq}$.

За произволно реално $y$ да означим с $[y]$ най-голямото измежду целите числа, $m \le y$. Така например $\left[ \frac{5}{2}\right]=2$, $\left[ -\frac{5}{2}\right]=-3$. От това определение става ясно, че $[y]$ е цяло число и че $0\le y-[y]<1$. Да разгледаме числата $kx-[kx], (k=0,1,2...,n)$. Те са $n+1$ на брой и лежат в интервала $[0,1]$. Разделяме последния интервал на $n$ равни подинтервала $\Delta_1, \Delta_2,...,\Delta_n,$ всеки от които има дължина $\frac{1}{n}$. От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни $k$ и $l$ между $0$ и $n$, за които числата $kx-[kx]$ и $lx-[lx]$ принадлежат на един и същи интервал $\Delta_\nu$. Следователно разстоянието между тях няма да надминава $\frac{1}{n}$, т.е.

$|kx-[kx]-(lx-[lx])|\le\frac{1}{n},$

или което е същото $(2)$,

$|(k-l)x-([kx]-[lx])|\le\frac{1}{n}.$

Тъй като $k \neq l$, без ограничение на общността може да се предположи, че $k>l$. Тъй като освен това $0 \le k \le n$, $0\le l\le n$, то $1\le k-l \le n$. Да положим $q=k-l$ и $p=[kx]-[lx]$. Тогава $p$ и $q$ са цели числа и са в сила неравенствата $1\le q\le n$. При тези означения $(2)$ добива вида $|qx-p|\le\frac{1}{n}$, откъдето след деление на двете страни с $q$ се получава $(1)$. От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.

Теорема 2. За всяко реално число $x$ съществуват безбройно много естествени числа $q$, за всяко от които съществува цяло число $p,$ за което е в сила неравенството

$|x-\frac{p}{q}|\le\frac{1}{q^2}.$