Апроксимация

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:

Апроксимиране на реалните числа с рационални[редактиране | edit source]

Теорема 1. Нека x е реално число, а n - естествено. Тогава съществуват естествени числа p и q, за които 1 \le q \le n и (1):

|x-\frac{p}{q}|\le\frac{1}{nq}.

За произволно реално y да означим с [y] най-голямото измежду целите числа, m \le y. Така например \left[ \frac{5}{2}\right]=2, \left[ -\frac{5}{2}\right]=-3. От това определение става ясно, че [y] е цяло число и че 0\le y-[y]<1. Да разгледаме числата kx-[kx], (k=0,1,2...,n). Те са n+1 на брой и лежат в интервала [0,1]. Разделяме последния интервал на n равни подинтервала \Delta_1, \Delta_2,...,\Delta_n, всеки от които има дължина \frac{1}{n}. От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни k и l между 0 и n, за които числата kx-[kx] и lx-[lx] принадлежат на един и същи интервал \Delta_\nu. Следователно разстоянието между тях няма да надминава \frac{1}{n}, т.е.

|kx-[kx]-(lx-[lx])|\le\frac{1}{n},

или което е същото (2),

|(k-l)x-([kx]-[lx])|\le\frac{1}{n}.

Тъй като k \neq l, без ограничение на общността може да се предположи, че k>l. Тъй като освен това 0 \le k \le n, 0\le l\le n, то 1\le k-l \le n. Да положим q=k-l и p=[kx]-[lx]. Тогава p и q са цели числа и са в сила неравенствата 1\le q\le n. При тези означения (2) добива вида |qx-p|\le\frac{1}{n}, откъдето след деление на двете страни с q се получава (1). От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.

Теорема 2. За всяко реално число x съществуват безбройно много естествени числа q, за всяко от които съществува цяло число p, за което е в сила неравенството

|x-\frac{p}{q}|\le\frac{1}{q^2}. [2]

Източници[редактиране | edit source]

  1. Физико-математическа и техническа енциклопедия, том 1, Издателство на БАН, София, 1990
  2. Принцип на Дирихле, Иван Проданов, Издателство "Народна просвета", София, 1975 г.