Проблем на Уоринг

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Проблемът на Уоринг е проблем от адитивната теория на числата поставен през 1770 г. от Едуард Уоринг и решен в общия случай от Давид Хилберт през 1909 г.

Проблемът се състои в доказването на хипотезата, че за всяко естествено число n съществува такова естествено число m, че всяко естествено число може да се представи като сума от най-много m на брой n-ти степени на естествени числа:  x_1^n + x_2^n + ... + x_m^n ,  (x_1, x_2, ..., x_m \in \mathbb{N}).[1],[2]

Според други източници,[3] когато поставя проблема, Уоринг прави предположения само за три случая:

  • n = 2, m = 4,
  • n = 3, m = 9,
  • n = 4, m = 19,
  • n = 5, m = 37.

С други думи, това означава всяко естествено число да може да се представи като сума на:

  • най-много четири втори степени на естествени числа,
  • най-много девет трети степени на естествени числа,
  • най-много деветнадесет четвърти степени на естествени числа.

Доказателство на първия случай дава Лагранж през 1772 г. (над доказателството работи и Ойлер[3]). Случаите n = 3 и n = 4 доказва Хилберт през 1909 г. в рамките на общото доказателство на проблема. Хилберт дава и груба оценка за m, която впоследствие бива подобрявана от Харди и Литълууд (1928), Виноградов (1934), Линик (1942) и други.[4]

След неговото доказателство обаче остава предизвикателството да се намерят конкретните стойности на m. Така например за n = 5 са правени оценките: m ≤ 192 (Maillet, 1896), m ≤ 59 (Wieferich, 1909), и доказателство: m = 37 (Chen, 1964).[5]

Източници[редактиране | edit source]

  1. "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
  2. "Математический энциклопедический словарь", Ю. В. Прохоров, "Советская энциклопедия", Москва, 1988
  3. а б "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
  4. "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
  5. Проблем на Уоринг. // MathWorld Wolfram. Посетен на 17/03/2007.