Теорема на Йънг

Теоремата на Йънг е твърдение от дискриптивната теория на множествата и теорията на функциите на една реална променлива, което намира приложение в изследването на прекъснатите функции. Тя показва, че примерите на Дирихле и Риман^[1] за функции, прекъснати в навсякъде гъсти множества, са нетривиални и обяснява трудностите при конструирането на подобни примери.

Теорема на Йънг: Множеството на точки на прекъсване на всяка функция на една реална променлива:

f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

е $F_{\sigma }\,$ -множество, а множеството от точки, в които тя е непрекъсната - $G_{\delta }\,$ -множество.

В примера на Риман множеството от точки на прекъснатост е $\mathbb {Q}$ , което е $F_{\sigma }\,$ -множество. Чрез теоремата на Йънг и теоремата на Бер може да се покаже невъзможността да се конструира пример за функция, прекъсната във всяка ирационална точка, и непркъсната във всяка рационална точка.