Релативистична кинетична енергия

Релативистичната кинетична енергия е кинетичната енергия на тяло, движещо се със скорост, съпоставима с тази на светлината (u~c). При такова движение е необходимо да се отчитат ефектите, предсказани от Специалната теория на относителността.

Определението за кинетична енергия е: $E_{k}=\int {\vec {v}}\cdot d{\vec {p}}$. Нека положим $\gamma ={1 \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}$, и имайки предвид релативистичната формула за импулса получаваме:

$E_{k}=\int {\vec {v}}\cdot d{\vec {p}}=\int {\vec {v}}\cdot d(m\gamma {\vec {v}})$

Интегриране по части ни дава:

$E_{k}=m\gamma {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-\int m\gamma {\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}=m\gamma v^{2}-{m \over 2}\int \gamma d(v^{2})$

Понеже γ зависи от v, за повече яснота ще заместим с пълния израз за γ:

$E_{k}=m{1 \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}v^{2}-{m \over 2}\int {{1 \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}dv^{2}}$

$E_{k}={mv^{2} \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}-{-mc^{2} \over 2}\int {d\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right) \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}$

$E_{k}={mv^{2} \over {\sqrt {\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)}}}+mc^{2}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}+C^{te}$

$E_{k}={m \over {\sqrt {(1-{v^{2} \over c^{2}})}}}\left(v^{2}+c^{2}(1-{v^{2} \over c^{2}})\right)+C^{te}$

или

$E_{k}={mc^{2} \over {\sqrt {(1-{v^{2} \over c^{2}})}}}+C^{te}$, като стойността на константата се дава от крайните условия: γ=1 когато v=0:

$E_{k}={mc^{2} \over {\sqrt {(1-{v^{2} \over c^{2}})}}}-mc^{2}$, като стойността на константата идва от забележката, че кинетичната енергия трябва да е равна на нула, когато v=0.

Следва една важна забележка: че за да ускорим тяло, до скоростта на светлината, трябва да му придадем безкрайна енергия. (Фотоните, в покой, нямат маса, така че те нито имат безкрайна енергия, нито им е придадена такава).

Релативистичната формула за пълната механична енергия, като функция от импулса е:

$E^{2}=p^{2}c^{2}+(mc^{2})^{2}$

Когато една частица е в покой р = 0, откъдето следва известното равенство на Айнщайн:

$E=mc^{2}$