Критерий за устойчивост на Раус

Критерият за устойчивост на Раус е един от методите за анализ на устойчивост на линейна стационарна динамична система. Заедно с критерия на Хурвиц (който често се нарича критерий на Раус-Хурвиц), той е от групата на алгебричните критерии за устойчивост (за разлика от честотните критерии, като критериите за устойчивост на Найкуист и Михайлов). Предложен е от Eдуард Раус през 1875 г.

Eдуард Раус

Въпреки факта, че критерият на Раус е предложен исторически по-рано от критерия на Хурвиц, той може да се използва като по-удобна схема за изчисляване на определителите на Хурвиц, особено за големи степени на характеристичния полином.

Предимствата на метода включват проста реализация на компютър с помощта на рекурсивен алгоритъм, както и лесен анализ за системи от малък (до 3) ред. Недостатък е липсата на нагледност на метода: при използването му е трудно да се получи информация за степента на устойчивост, за запасите от устойчивост.

Формулировка

Методът работи с коефициентите на характеристичното уравнение на системата. Нека $W(p)={\frac {Y(p)}{H(p)}}$ е предавателната функция на системата, а $\ H(p)=0$ – характеристичното уравнение на системата. Представя се характеристичният полином $\ H(p)$ във вида

$\ H(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n}$

Критерият на Раус е алгоритъм, чрез който се съставя специална таблица, в която коефициентите на характеристичния полином се записват по такъв начин, че:

1. първият ред съдържа коефициентите на уравнението с четни индекси във възходящ ред;
2. вторият ред – с нечетни;
3. останалите елементи на таблицата се определят по формулата: $\ c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1}$, където $r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3$ е номер на реда, $\ k$ – номер на стълба;
4. броят на редовете в таблицата на Раус е с един по-голям от реда на характеристичното уравнение.

Таблица на Раус:

$\ ri$	$\Downarrow i\Longrightarrow k$	1	2	3	4
-	1	$\ c_{1,1}=a_{0}$	$\ c_{2,1}=a_{2}$	$\ c_{3,1}=a_{4}$	...
-	2	$\ c_{1,2}=a_{1}$	$\ c_{2,2}=a_{3}$	$\ c_{3,2}=a_{5}$	...
$r_{3}={\frac {c_{1,1}}{c_{1,2}}}$	3	$c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2}$	$c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2}$	$c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2}$	...
$r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}$	4	$c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3}$	$c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3}$	$c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

Критерий на Раус:

„

За да бъде устойчива линейна стационарна динамична система, е необходимо и достатъчно коефициентите на първата колона от таблицата на Раус $\ c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},....$ да имат един и същи знак. Ако това не е така, тогава системата е неустойчива.

“

Вижте също

• Критерий за устойчивост на Хурвиц
• Критерият за устойчивост на Найкуист
• Критерият за устойчивост на Михайлов
• Теорема на Раус-Хурвиц
• Теорема на Ермите-Билер
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

• Михаил МихайловичПостников – Устойчивые многочлены – Москва, издательство „Наука“, 1981, 176 страниц.
• Чернецкий В. И. – Математическое моделирование динамических систем, издательство „Петрозаводский гос. ун-т“, Петрозаводск, 1996, 432 страницы, isbn=5-230-08981-4.