Точно диференциално уравнение или диференциално уравнение с пълен диференциал в математиката е определен вид обикновено диференциално уравнение.
Нека функциите
,
,
, и
, където долните индекси означават частната производна, са непрекъснати в множеството
. В такъв случай диференциалното уравнение
![{\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0c2b9f42dc3a49861e9bb9e5053affb413f6eb)
е точно тогава и само тогава, когато
![{\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e23ad36705c06aedff2df4bd09d71cd328ad29b)
Тоест съществува функция
, наречена потенциална функция, така че
![{\displaystyle \psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ и }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75686b723ada6fce4e336f1f2e87dcbde112c98e)
В общия случай:
![{\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48132a791be09eb600609931f551b91b5f60bc4a)
Доказателството се състои от две части.
Нека
е функция, така че
.
Тогава
.
От условието, че
и
са непрекъснати, следва, че
и
също са непрекъснати, което гарантира тяхната еднаквост.
Втората част от доказателството се състои в конструирането на функцията
и може да се използва и като процедура за решаване на точни диференциални уравнения от първи ред. Нека за
и
е изпълнено, че
, и нека
е функция, за която е изпълнено, че
.
Започваме като интегрираме първото уравнение спрямо
. Практически няма значение дали се интегрира първото или второто уравнение, стига интегрирането да се извършва спрямо правилната променлива.
![{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f380ead829fb60bf9a6fe6f45241efa41b11518)
![{\displaystyle \psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0bc48651f17a87357009b81ceadcc02d8d8ccb)
![{\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24515f6013ce23f4a8a3c46b126d66164f6990c)
където
![{\displaystyle Q(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a151e980598f776e01ae247354ba03cf8e8143)
е произволна диференцируема функция, за която
![{\displaystyle Q_{x}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1030466b5ae5aebd6364237366913d8075582d3)
. Функцията
![{\displaystyle h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4fa1a899760e618e9015ea2c3431f6b01a465a)
играе ролята на константа на интегриране, но вместо просто константа, тя е функция от
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
, тъй като
![{\textstyle M(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6471ab7aa29df93de3c880eaefde70c0045509b)
е функция и от
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
, и от
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
, а ние интегрираме само спрямо
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
.
Сега, да покажем, че винаги е възможно да се намери функция
такава, че
.
![{\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24515f6013ce23f4a8a3c46b126d66164f6990c)
Диференцираме двете страни на уравнението спрямо
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
.
![{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209500b0585cc34fc15855386f7183b46a9045e0)
Заместваме
![{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc198269342ecc8067addb3d4c8459624251dfe)
с
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
и изразяваме
![{\displaystyle h'(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f571a85af8d7573d97165181b4d9a768b273ed)
.
![{\displaystyle h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be8dc8e735a949056dabfc1378c0b36ca90b056)
За да се определи
![{\displaystyle h'(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f571a85af8d7573d97165181b4d9a768b273ed)
от това уравнение, дясната страна трябва да зависи само от
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
. Това може да се докаже, като се покаже, че производната ѝ спрямо
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
винаги е нула. Затова диференцираме дясната страна спрямо
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
:
![{\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34619153b5b62852157e0bdd2d20fe23e3ab3e23)
Понеже
![{\displaystyle Q_{x}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1030466b5ae5aebd6364237366913d8075582d3)
, следва, че
![{\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7318eef0dc00bdae7c96bcf6e7301ce3a6fa83)
,
въз основа на първоначалното предположение, че
.
Следователно,
![{\displaystyle h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be8dc8e735a949056dabfc1378c0b36ca90b056)
![{\displaystyle h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f7f4f5e0630b691eed4688b53727bf758f2ee8)
![{\displaystyle \psi (x,y)=Q(x,y)+\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8241f39f5b8f46ba1ea8c05e516b3b6555edfd1c)
Точни диференциални уравнения от първи ред с формата
![{\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0c2b9f42dc3a49861e9bb9e5053affb413f6eb)
могат да се запишат изцяло въз основа на потенциалната функция
![{\displaystyle \psi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b870a9be3ace317ea836761ca9d096af1e5a67a4)
![{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e9df58e24a325056ee96871aeb889a1245bf70)
където
![{\displaystyle {\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb263733c1306cbd81957396ab642bbcdcbd42)
Това е еквивалентно на
пълния диференциал на
![{\displaystyle \psi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b870a9be3ace317ea836761ca9d096af1e5a67a4)
.
![{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76ef9a866f1e989c842895015a6d900010e645b)
Тогава решенията на точното диференциално уравнение се дават от
![{\displaystyle \psi (x,y(x))=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164dfa7db1d182b3199fb6d815dc29fb27d71123)
и проблемът се свежда до намирането
![{\displaystyle \psi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b870a9be3ace317ea836761ca9d096af1e5a67a4)
.
Това може да се постигне чрез интегрирането на двата израза
и
и съставянето на полином, в който всеки член от получените изрази се среща само веднъж. Този полином ще бъде
.
Причината за това е следната. Понеже
![{\displaystyle {\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb263733c1306cbd81957396ab642bbcdcbd42)
чрез интегриране на двете страни следва, че
![{\displaystyle {\begin{cases}\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int {N(x,y)dy}+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eeb259782669938b98ad787785584c69a97ea14)
От което следва, че
![{\displaystyle Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c7e64f5df9a12231c747d54393d8f1d08c2b09)
където
![{\displaystyle Q(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a151e980598f776e01ae247354ba03cf8e8143)
и
![{\displaystyle P(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b3d8f37f5458c22b61eaf26e5af0523acb63e2)
са диференцируеми функции, така че
![{\displaystyle Q_{x}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1030466b5ae5aebd6364237366913d8075582d3)
и
![{\displaystyle P_{y}=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e607957a238ebbbe4860d48c6aec4caea9459d)
.
За да е винаги изпълнено това, и за да може от двете страни да се получи абсолютно един и същи израз, а именно
,
задължително трябва да се съдържа в израза за
, защото не може да бъде в
, тъй като първото е изцяло функция на
и следователно не може да има нищо общо с
. Аналогично
трябва да се съдържа в израза
.
Следователно,
![{\displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ и }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea6be83e32a8cf47965c6f189d919434db4a69c)
за някакви изрази
![{\displaystyle f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29473ed0c4e838ac9dbe074535e507166c0e9101)
и
![{\displaystyle d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3772957879a8bbf7946bddf5743c508a1d5072c0)
. Замествайки в предишното уравнение, изведено от системата, следва, че
![{\displaystyle g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494544962d34abff54cca349eb9bd0dd2f77193a)
и така
![{\displaystyle f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29473ed0c4e838ac9dbe074535e507166c0e9101)
и
![{\displaystyle d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3772957879a8bbf7946bddf5743c508a1d5072c0)
се оказват една и съща функция. От това следва, че
![{\displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ и }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4afa52f0e787681d39ba7aa588c5e29f74303f)
Тъй като вече показахме, че
![{\displaystyle {\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bfe0ccfb7a727eef5b4cb434db0353c19ad120)
следва, че
![{\displaystyle \psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba0397bf3e276c9cb69e50cd1d92f6767122d28)
В крайна сметка
![{\displaystyle \psi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b870a9be3ace317ea836761ca9d096af1e5a67a4)
може да се построи чрез извършване на операциите
![{\displaystyle \int {M(x,y)dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ace2026a1f4450b4b098242e4f9dcb2af39e53c)
и
![{\displaystyle \int {N(x,y)dy}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c80e1a1d6161794ac0d928c0e23fc8b66b8ef61)
и съставянето на многочлен от едночлените, които са общи за двата израза (а именно
![{\displaystyle f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29473ed0c4e838ac9dbe074535e507166c0e9101)
), и добавянето към тях на едночлените, които се срещат само в един от двата интеграла, т.е.
![{\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)
и
![{\displaystyle h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4fa1a899760e618e9015ea2c3431f6b01a465a)
.