Точно диференциално уравнение или диференциално уравнение с пълен диференциал в математиката е определен вид обикновено диференциално уравнение.
Нека функциите , , , и , където долните индекси означават частната производна, са непрекъснати в множеството . В такъв случай диференциалното уравнение
е точно тогава и само тогава, когато
Тоест съществува функция , наречена потенциална функция, така че
В общия случай:
Доказателството се състои от две части.
Нека е функция, така че .
Тогава .
От условието, че и са непрекъснати, следва, че и също са непрекъснати, което гарантира тяхната еднаквост.
Втората част от доказателството се състои в конструирането на функцията и може да се използва и като процедура за решаване на точни диференциални уравнения от първи ред. Нека за и е изпълнено, че , и нека е функция, за която е изпълнено, че .
Започваме като интегрираме първото уравнение спрямо . Практически няма значение дали се интегрира първото или второто уравнение, стига интегрирането да се извършва спрямо правилната променлива.
където
е произволна диференцируема функция, за която
. Функцията
играе ролята на константа на интегриране, но вместо просто константа, тя е функция от
, тъй като
е функция и от
, и от
, а ние интегрираме само спрямо
.
Сега, да покажем, че винаги е възможно да се намери функция такава, че .
Диференцираме двете страни на уравнението спрямо
.
Заместваме
с
и изразяваме
.
За да се определи
от това уравнение, дясната страна трябва да зависи само от
. Това може да се докаже, като се покаже, че производната ѝ спрямо
винаги е нула. Затова диференцираме дясната страна спрямо
:
Понеже
, следва, че
,
въз основа на първоначалното предположение, че .
Следователно,
Точни диференциални уравнения от първи ред с формата
могат да се запишат изцяло въз основа на потенциалната функция
където
Това е еквивалентно на
пълния диференциал на
.
Тогава решенията на точното диференциално уравнение се дават от
и проблемът се свежда до намирането
.
Това може да се постигне чрез интегрирането на двата израза и и съставянето на полином, в който всеки член от получените изрази се среща само веднъж. Този полином ще бъде .
Причината за това е следната. Понеже
чрез интегриране на двете страни следва, че
От което следва, че
където
и
са диференцируеми функции, така че
и
.
За да е винаги изпълнено това, и за да може от двете страни да се получи абсолютно един и същи израз, а именно , задължително трябва да се съдържа в израза за , защото не може да бъде в , тъй като първото е изцяло функция на и следователно не може да има нищо общо с . Аналогично трябва да се съдържа в израза .
Следователно,
за някакви изрази
и
. Замествайки в предишното уравнение, изведено от системата, следва, че
и така
и
се оказват една и съща функция. От това следва, че
Тъй като вече показахме, че
следва, че
В крайна сметка
може да се построи чрез извършване на операциите
и
и съставянето на многочлен от едночлените, които са общи за двата израза (а именно
), и добавянето към тях на едночлените, които се срещат само в един от двата интеграла, т.е.
и
.