Направо към съдържанието

Точно диференциално уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Точно диференциално уравнение или диференциално уравнение с пълен диференциал в математиката е определен вид обикновено диференциално уравнение.

Точни диференциални уравнения от първи ред[редактиране | редактиране на кода]

Тест за точно диференциално уравнение[редактиране | редактиране на кода]

Нека функциите , , , и , където долните индекси означават частната производна, са непрекъснати в множеството . В такъв случай диференциалното уравнение

е точно тогава и само тогава, когато

Тоест съществува функция , наречена потенциална функция, така че

В общия случай:

Доказателство[редактиране | редактиране на кода]

Доказателството се състои от две части.

Нека е функция, така че .

Тогава .

От условието, че и са непрекъснати, следва, че и също са непрекъснати, което гарантира тяхната еднаквост.

Втората част от доказателството се състои в конструирането на функцията и може да се използва и като процедура за решаване на точни диференциални уравнения от първи ред. Нека за и е изпълнено, че , и нека е функция, за която е изпълнено, че .

Започваме като интегрираме първото уравнение спрямо . Практически няма значение дали се интегрира първото или второто уравнение, стига интегрирането да се извършва спрямо правилната променлива.

където е произволна диференцируема функция, за която . Функцията играе ролята на константа на интегриране, но вместо просто константа, тя е функция от , тъй като е функция и от , и от , а ние интегрираме само спрямо .

Сега, да покажем, че винаги е възможно да се намери функция такава, че .

Диференцираме двете страни на уравнението спрямо .
Заместваме с и изразяваме .
За да се определи от това уравнение, дясната страна трябва да зависи само от . Това може да се докаже, като се покаже, че производната ѝ спрямо винаги е нула. Затова диференцираме дясната страна спрямо :
Понеже , следва, че
,

въз основа на първоначалното предположение, че .

Следователно,

Решаване на точни диференциални уравнения от първи ред[редактиране | редактиране на кода]

Точни диференциални уравнения от първи ред с формата

могат да се запишат изцяло въз основа на потенциалната функция
където
Това е еквивалентно на пълния диференциал на .
Тогава решенията на точното диференциално уравнение се дават от
и проблемът се свежда до намирането .

Това може да се постигне чрез интегрирането на двата израза и и съставянето на полином, в който всеки член от получените изрази се среща само веднъж. Този полином ще бъде .

Причината за това е следната. Понеже

чрез интегриране на двете страни следва, че
От което следва, че
където и са диференцируеми функции, така че и .

За да е винаги изпълнено това, и за да може от двете страни да се получи абсолютно един и същи израз, а именно , задължително трябва да се съдържа в израза за , защото не може да бъде в , тъй като първото е изцяло функция на и следователно не може да има нищо общо с . Аналогично трябва да се съдържа в израза .

Следователно,

за някакви изрази и . Замествайки в предишното уравнение, изведено от системата, следва, че
и така и се оказват една и съща функция. От това следва, че
Тъй като вече показахме, че
следва, че
В крайна сметка може да се построи чрез извършване на операциите и и съставянето на многочлен от едночлените, които са общи за двата израза (а именно ), и добавянето към тях на едночлените, които се срещат само в един от двата интеграла, т.е. и .

  Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Exact differential equation в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​

ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​