Ред на Фурие

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Направо към: навигация, търсене

В математиката ред на Фурие е вид тригонометричен ред. Нека f\in L^1(\mathbb T), където \mathbb T=[0,2\pi). Редът на Фурие на f, който ще означаваме с S(f) се задава формално с формулата

S(f):=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat f(n)e^{int},

където \hat f(n) е n-ят фуриеров коефициент на f (n е цяло число). Ще казваме, че един тригонометричен ред е ред на Фурие, ако коефициентите му са фуриерови коефициенти за някое f\in L^1(\mathbb T).

Една от основните задачи на класическия хармоничен анализ е да определи при какви условия редът на Фурие S(f) клони към функцията f. Друг важен въпрос е кой свойства на f: ограниченост, дифернцируемост, непрекъснатост са отразени във фуриеровите коефициенти.

Съдържание

[редактиране] Теорема за единственост

  • Нека f\in L^1(\mathbb T). Ако \hat f(n)=0 за всяко n, то f = 0.
  • Нека f,g\in L^1(\mathbb T). Ако \hat f(n)=\hat g(n) за всяко n, то f = g.

Частичните суми на реда на Фурие S_N(f)=\sum_{n=-N}^N \hat f(n)e^{int} могат да се изразят като конволюция на f с ядрото на Дирихле DN. Тъй като ядрото на Дирихле не е сумиращо ядро, е доста трудно да се изведе сходимост на реда на Фурие в общия случай.

[редактиране] Теорема на Фейер

Ако f\in L^1(\mathbb T) е непрекъсната в точката t0 и редът на Фурие на f е сходящ в t_0\in \mathbb T, то

S(f)(t0) = f(t0).

[редактиране] Теорема на Лебег

Ако редът на Фурие на f\in L^1(\mathbb T) е сходящ в някое подмножество Е с положителна мярка, то сумата му е равна на почти навсякъде в Е. В частност, ако редът на Фурие на f\in L^1(\mathbb T) е сходящ почти навсякъде в тора, то той клони към f почти навсякъде в тора.

[редактиране] Абсолютно сходящ ред на Фурие

Нека да означим с A(\mathbb T) множеството на онези непрекъснати функции в тора с абсолютно сходящ ред на Фурие, т.е. функциите f\in C[0,2\pi), за които е изпълнено

\sum_{n=-\infty}^\infty|\hat f(n)|<\infty.

Изображението f\mapsto\{\hat f(n)\} от A(\mathbb T) в \ell^1(\mathbb Z) е линейно и еднозначно.

Ако пък \{a_n\}\in\ell^1(\mathbb Z), то тригонометричният ред

\sum_{n\in\mathbb Z} a_ne^{int}

е равномерно сходящ в тора и ако означим сумата му с g, имаме от свойствата на преобразованието на Фурие,

a_n=\hat g(n).

Така получихме изоморфизъм между A(\mathbb T) и \ell^1(\mathbb Z). Ако положим

\|f\|_{A(\mathbb T)}:=\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|,

не е трудно да се покаже, че горната формула определя норма в A(\mathbb T).

[редактиране] Следствие

A(\mathbb T) и \ell^1(\mathbb Z) са изоморфни банахови пространства. Още повече, понеже

\|f\cdot g\|_{A(\mathbb T)}\le\|f\|_{A(\mathbb T)}\|g\|_{A(\mathbb T)},

A(\mathbb T) е банахова алгебра.

Лемата на Винер обобщава спектралните свойства на A(\mathbb T).

За съжаление не всяка непрекъсната функция в тора има абсолютно сходящ ред на Фурие. Онези непрекъснати функции, които не са в A(\mathbb T), не могат да бъдат характеризирани чрез техните производни например. Някои условия са достатъчни обаче, за да бъде редът на Фурие абсолютно сходящ.

[редактиране] Теорема на Бернщайн

Нека f\in Lip_\alpha (\mathbb T), т.е. пространството на функции на Липшиц, което съдържа онези f\in C(\mathbb T), за които

\sup_{t\in\mathbb{T}, h\neq 0}\frac{|f(t+h)-f(t)|}{|h|^\alpha}<\infty

за някое \alpha>\frac 12. Тогава f\in A(\mathbb T).

Условието \alpha>\frac 12 е необходимо, понеже съществуват функции в Lip_{\frac12} (\mathbb T), чийто ред на Фурие не е абсолютно сходящ. Виж ред на Харди-Литълууд.

[редактиране] Теорема на Зигмунд

Ако f\in Lip_\alpha (\mathbb T),\alpha>0 и f е с ограничена вариация, то f\in A(\mathbb T).

[редактиране] Сходимост в L2

С най-голям успех при сходимостта на техния ред на Фурие се ползват функциите от L^2(\mathbb T). Това се дължи на факта, че това пространство е хилбертово. Скаларното произведение в L^2(\mathbb T) се дефинира с равенството

\langle f, g\rangle=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb T}f(t)\overline{g(t)}\,dt

В L^2(\mathbb T) функциите \{e^{int}:n\in\mathbb Z\} са ортонормиран базис.

Следователно

  • f=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat f(n)e^{int} в нормата на L^2(\mathbb T).
  • За всяка редица \{a_n\}\in\ell^2(\mathbb Z), т.е. редица, за която е изпълнено
\sum_{n\in\mathbb Z}|a_n|^2<\infty,

съществува единствена функция f\in L^2(\mathbb T), такава че

a_n=\hat f(n).

[редактиране] Теорема на Парсевал

Нека f,g\in L^2(\mathbb T). Тогава

\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb T} f(t)\overline{g(t)}\,dt=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat f(n)\overline{\hat g(n)}

[редактиране] Изключения

Съществуват функции за които f\in L^1(\mathbb T), но f\notin L^2(\mathbb T), чийто ред на Фурие S(f) е разходящ почти навсякъде в тора \mathbb T.

[редактиране] Литература

  • Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, Inc., New York, 1976. ISBN 0-486-63331-4
Взето от „http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%B4_%D0%BD%D0%B0_%D0%A4%D1%83%D1%80%D0%B8%D0%B5“.
Лични инструменти