Теорема на Лиувил

Един от класическите резултати в комплексния анализ е теоремата на Лиувил, наречена на Жозеф Лиувил.

Теоремата на Лиувил гласи:

Функцията, която е аналитична и ограничена в цялата комплексна равнина, е константа.

С други думи всяка холоморфна функция f, за която съществува положително число M такова че |f(z)| ≤ M за всяко z в C, е константа.

Забележки

• Теоремата на Лиувил се използва за кратко и елегантно доказателство на основната теорема на алгебрата.
• Твърдението на теоремата се усилва значително от малката теорема на Пикар, която твърди, че всяка цяла функция, сред стойности на която липсват поне две различни комплексни числа, е константна.
• На езика на римановите повърхнини, теоремата на Лиувил може да се обобщи по следния начин: Ако M е параболична риманова повърхнина (например комплексната равнина C), а N е хиперболична (например отворен кръг), то всяка холоморфна функция, изобразяваща M в N, е константа.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Liouville's theorem (complex analysis)“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.