Цяла функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Цяла функция, в математиката, е всяка комплексно-значна функция, холоморфна върху цялата комплексна равнина (откъдето идва и името - цяла). Множеството от цели функции представлява комутативен пръстен над комплексната равнина.

Една цяла функция може да се развие в сходящ ред или (по теоремата за разлагане на Вайерщрас) в произведение.

От теоремата теоремата на Лиувил следва, че всяка ограничена цяла функция е константа. Прилагайки малката теорема на Пикар получаваме, че всяка цяла функция, различна от константа, може да приема за стойност всяко комплексно число (, евентуално с изключение на едно).

Примери за цели функции са експоненциалната, полиномиалните, сигма-функцията на Вайерщрас и тета-функциите на Якоби.

Целите функции се делят на цели рационалниполюс в безкрайност - полиномите) и цели трансцендентни (със съществена особеност в безкрайност - напр. \sin (z) ).

Формално определение[редактиране | edit source]

Функцията f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n наричаме цяла, когато реда \sum_{n=0}^\infty c_n z^n е сходящ за всяко z \in \mathbb{C}, \ c \in \mathbb{C}. Определението може да се обобщи и за случая на много комплексни променливи z \in \mathbb{C}^n