Теорема на Стюарт

В математиката теоремата на Стюарт (на английски: Stewart's theorem) гласи:

Нека е даден триъгълник ABC със страни $AB = c,\ BC = a,\ CA = b$ и точка D, лежаща на страната BC. Ако $AD = d,\ BD = m$ и $\ DC = n$ , то:

$a(d^2 + mn) = mb^2 + nc^2$ , ако т. D лежи между точките B и C

$a(d^2 - mn) = mb^2 - nc^2$ , ако т. D лежи отвъд т. C

$a(d^2 - mn) = -mb^2 + nc^2$ , ако т. D лежи отвъд т. B

Теоремата се доказва с помощта на косинусовата теорема.

Точка D лежи върху страната BC.

За точка D,произволна точка лежаща на отсечката BC (AD - медиана):

Нека $\angle BDA=\phi$

От косинусова теорема в триъгълниците BDA и CDA получаваме

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi$

$CA^2 = AD^2 + CD^2 - 2.CD.AD.cos(180-\, \phi)$ От тук и дефиницията за косинус следва $cos(180-\, \phi)= - cos\, \phi$ $AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi$

$CA^2 = AD^2 + CD^2 + 2.CD.AD.cos\, \phi$ Умножаваме двете страни на първото и второто съответно с CD и BD и събираме почленно. $AB^2.CD = AD^2.CD + BD^2.CD - 2.CD.BD.AD.cos\, \phi$