Теорема на Стюарт

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката теоремата на Стюарт (на английски: Stewart's theorem) гласи:


Нека е даден триъгълник ABC със страни AB = c,\ BC = a,\ CA = b и точка D, лежаща на страната BC. Ако AD = d,\ BD = m и \ DC = n, то:

  • a(d^2 + mn) = mb^2 + nc^2, ако т. D лежи между точките B и C
  • a(d^2 - mn) = mb^2 - nc^2, ако т. D лежи отвъд т. C
  • a(d^2 - mn) = -mb^2 + nc^2, ако т. D лежи отвъд т. B

Теоремата се доказва с помощта на косинусовата теорема.

Точка D лежи върху страната BC.

За точка D,произволна точка лежаща на отсечката BC (AD - медиана):

Нека \angle BDA=\phi

От косинусова теорема в триъгълниците BDA и CDA получаваме

AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi

CA^2 = AD^2 + CD^2 - 2.CD.AD.cos(180-\, \phi) От тук и дефиницията за косинус следва cos(180-\, \phi)= - cos\, \phi AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi

CA^2 = AD^2 + CD^2 + 2.CD.AD.cos\, \phi Умножаваме двете страни на първото и второто съответно с CD и BD и събираме почленно. AB^2.CD = AD^2.CD + BD^2.CD - 2.CD.BD.AD.cos\, \phi

CA^2.BD = AD^2.BD + CD^2.BD + 2.CD.BD.AD.cos\, \phi AB^2.CD + CA^2.BD =AD^2.BD + CD^2.BD + AD^2.CD + BD^2.CD, \,

Окончателно: AB^2.CD + CA^2.BD =AD^2.BD + AD^2.CD + CD.BD(CD+ BD) \,