Уравнения на Навие-Стокс

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Уравненията на Навие-Стокс е система от частни диференциални уравнения, описваща движението на вискозен Нютонов флуид. Уравненията на Навие-Стокс са едни от най-важните в хидродинамиката и се прилагат в математическото моделиране на много природни явления и технически задачи. Носят имената на френския физик Анри Навие и британския математик Джордж Стокс.

Системата се състои от две уравнения:

  • уравнение на движението,
  • уравнение за непрекъснатост.

Те се записват по следния начин във векторна форма (в случай на несвиващ се флуид):

 \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} + \nu\Delta\vec{v} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{f},
 \nabla\cdot\vec{v} = 0,

където \nabla е операторът на Хамилтон, \Deltaоператор на Лаплас, t — време, \nu — коефициент на кинематичен вискозитет, \rhoплътност, pналягане, \vec{v}=(v^1,\dots,v^n) — векторно поле на скоростите, \vec{f} — векторно поле на силите, въздействащи на масата. Неизвестните p и \vec{v} са функции на времето t и координатата x\in\Omega, където \Omega\subset \mathbb{R}^n, n=2,3 е плоска или триизмерна област, в която се движи флуидът. Обикновено към системата уравнения на Навие-Стокс се добавят гранични и начални условия, например

 \vec{v}|_{\partial \Omega} = 0,
 \vec{v}|_{t=0} = \vec{v}_0.

Понякога към системата уравнения на Навие-Стокс се включват допълнително и уравнението за топлопроводност и уравнението на състоянието.

Ако се отчете свиването на флуида, уравненията на Навие-Стокс придобиват следния вид:

 
\rho \left( 
\frac{\partial v_i}{\partial t} +v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k}  
\right)=
- \frac{\partial P}{\partial x_i} \, + \, \frac{\partial }{\partial x_k} 
\left\{ \mu \left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\, \delta_{i,k} \,  
\frac{\partial v_l}{\partial x_l}
\right) \right\} \, 
+ \, \frac{\partial }{\partial x_k} \left(\zeta \, \frac{\partial v_l}{\partial x_l} \delta_{i,k} \, \right),

където \mu е коефициентът на динамичен вискозитет,  \zeta — „втори вискозитет“.

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Уравнения Навье—Стокса“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.