Уравнения на Навие-Стокс

Уравненията на Навие — Стокс е система от частни диференциални уравнения, описваща движението на вискозен Нютонов флуид. Уравненията на Навие—Стокс са едни от най-важните в хидродинамиката и се прилагат в математическото моделиране на много природни явления и технически задачи. Носят имената на френския физик Анри Навие и британския математик Джордж Стокс.

Системата се състои от две уравнения:

• уравнение на движението,
• уравнение за непрекъснатост.

Те се записват по следния начин във векторна форма (в случай на несвиващ се флуид):

$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} + \nu\Delta\vec{v} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{f},$

$\nabla\cdot\vec{v} = 0,$

където $\nabla$ е операторът на Хамилтон, $\Delta$ — оператор на Лаплас, $t$ — време, $\nu$ — коефициент на кинематичен вискозитет, $\rho$ — плътност, $p$ — налягане, $\vec{v}=(v^1,\dots,v^n)$ — векторно поле на скоростите, $\vec{f}$ — векторно поле на силите въздействащи на масата. Неизвестните $p$ и $\vec{v}$ са функции на времето $t$ и координатата $x\in\Omega$, където $\Omega\subset \mathbb{R}^n$, $n=2,3$ е плоска или триизмерна област, в която се движи флуидът. Обикновено към системата уравнения на Навие-Стокс се добавят гранични и начални условия, например

$\vec{v}|_{\partial \Omega} = 0,$

$\vec{v}|_{t=0} = \vec{v}_0.$

Понякога към системата уравнения на Навие-Стокс се включват допълнително и уравнението за топлопроводност и уравнението на състоянието.

Ако се отчете свиването на флуида, уравненията на Навие-Стокс придобиват следния вид:

$\rho \left( \frac{\partial v_i}{\partial t} +v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} \right)= - \frac{\partial P}{\partial x_i} \, + \, \frac{\partial }{\partial x_k} \left\{ \mu \left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\, \delta_{i,k} \, \frac{\partial v_l}{\partial x_l} \right) \right\} \, + \, \frac{\partial }{\partial x_k} \left(\zeta \, \frac{\partial v_l}{\partial x_l} \delta_{i,k} \, \right),$

където $\mu$ е коефициентът на динамичен вискозитет, $\zeta$ — «втори вискозитет».

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Уравнения Навье—Стокса“ в Уикипедия на руски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.