Апроксимация

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:

Апроксимиране на реалните числа с рационални[редактиране | редактиране на кода]

Теорема 1. Нека е реално число, а  – естествено. Тогава съществуват цели числа и , за които и

За произволно реално да означим с най-голямото измежду целите числа . Така например, , . От това определение става ясно, че е цяло число и че .

Да разгледаме числата . Те са на брой и лежат в интервала . Разделяме последния интервал на равни подинтервала всеки от които има дължина . От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни цели числа и между и , за които числата и принадлежат на един и същи интервал . Следователно разстоянието между тях няма да надминава , т.е.

или, което е същото ,

Тъй като , без ограничение на общността може да се предположи, че . Освен това, , , следователно . Да положим и . Тогава и са цели числа и са в сила неравенствата . При тези означения добива вида , откъдето след деление на двете страни с се получава . От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.

Теорема 2. За всяко реално число съществуват безбройно много естествени числа , за всяко от които съществува цяло число за което е в сила неравенството

[2]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Физико-математическа и техническа енциклопедия, том 1, Издателство на БАН, София, 1990
  2. Принцип на Дирихле, Иван Проданов, Издателство „Народна просвета“, София, 1975 г.