Критерий за устойчивост на Вишнеградски

Критерий за устойчивост на Вишнеградски е алгебричен критерий за устойчивост на системи за автоматично управление (САУ), който е частен случай на критерия на Хурвиц само за системи от трети ред.

Критерият е формулиран през XIX век от известния руски математик професор Иван Алексеевич Вишнеградски – преподавател в Санкт Петербургския технологичен институт и в Михайловската артилерийска академия, а от 1 януари 1887 г. – министър на финансите на Руската империя. ^[1] През 1895 г. немският математик Адолф Хурвиц обобщава критерия за системи от произволен ред, известен като Критерий за устойчивост на Хурвиц.

Характеристичният полином от трета степен за затворената система е

$\ H(p)=a_{0}p^{3}+a_{1}p^{2}+a_{2}p+a_{3}$ ,

където $p=j\omega$ е комплексен аргумент.

Детерминантата и определителите на Хурвиц ще имат вида:
$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&0\\a_{0}&a_{2}&0\\0&a_{1}&a_{3}\end{vmatrix}}$ ; $\Delta _{1}=a_{1}$ ; $\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}=a_{1}.a_{2}-a_{0}.a_{3}$ .

„

Необходимото и достатъчно условие за устойчивост на САУ е всички коефициенти на характеристичния полином да са положителни и определителят $\Delta _{2}=a_{1}.a_{2}-a_{0}.a_{3}>0$ ,
т. е. $a_{1}.a_{2}>a_{0}.a_{3}$ .

“

Ако коефициентите са с различни знаци и/или $a_{1}.a_{2}<a_{0}.a_{3}$ , системата е неустойчива.
Ако всички коефициенти са положителни, но $a_{1}.a_{2}=a_{0}.a_{3}$ , системата е на границата на устойчивост.