Мерсеново просто число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Мерсеново число се нарича всяко число от вида:

(за n > 1).

Кръстено е на френския математик Марен Мерсен (1588 – 1648). Интерес за теория на числата представляват тези мерсенови числа, които са прости. Известни са под наименованието мерсенови прости числа. Ако едно мерсеново число е просто, то и би трябвало да е просто число. Обратното обаче не винаги е вярно. Например:

Това е и най-малкото мерсеново съставно число с експонента () просто число. Най-малкото мерсеново число с експонента съставно число е:

Мерсеновите и съвършените числа[редактиране | редактиране на кода]

Простите мерсенови числа са тясно свързани със съвършените числа. Всички известни досега съвършени числа са четни и се получават по формулата:

,

където e мерсеновото число . Горната формула е използвана от Евклид за пресмятането на първите четири съвършени числа (6, 28, 496, 8128) и стига до нас с неговото съчинение „Елементи“. С помощта на тази формула търсенето на четни съвършени числа се свежда до търсене на мерсенови числа.

Все още не е известно дали простите мерсенови числа, а съответно и четните съвършени числа са безбройно много или са краен брой. Този математически проблем засега остава нерешен, въпреки че търсенето на мерсенови числа се извършва с помощта на много мощни компютри.

Компютърната ера в търсенето на мерсенови числа[редактиране | редактиране на кода]

Графика на броя на цифрите в най-големите известни мерсенови прости числа — вертикалната скала е логаритмична

Революция в търсенето на мерсенови прости числа е въвеждането на електронните цифрови компютри. Първият успех на компютрите е M521, открито на 30 януари 1952 г. с помощта на SWAC в Института по числен анализ в Калифорнийския университет — Лос Анжелис, с компютърна програма, написана и пусната от проф. Рафаел М. Робинсън. Следващо е M607, намерено с компютър след по-малко от две години. Числата M1279, M2203 и M2281 са намерени със същата програма няколко месеца по-късно. M4253 е първото мерсеново просто число титан, M44497 е първото мерсеново просто число гигант и M6 972 593 е първото мерсеново просто мегачисло – с най-малко 1 000 000 цифри.

Списък на първите 12 мерсенови прости числа[редактиране | редактиране на кода]

Първите четири мерсенови прости числа – , , и са били известни в Античността. Петото – , е с неизвестно авторство от 1461 г. Следващите две – и , са намерени от Пиетро Каталди през 1588 г. След близо два века, през 1772 г. Леонард Ойлер доказва, че е просто число. Исторически следващото е открито от френския математик Едуард Лукас през 1876 г., а след него – от Иван М. Первушин през 1883 г. Числата и са намерени в началото на XX век от Р. E. Пауърс през 1911 г. и съответно през 1914 г. Първите 12 мерсенови прости числа са открити без помощта на компютри.

Последователности A000043[1] (за ) и A000668[2] (за ) в OEIS.

  1. = 3
  2. = 7
  3. = 31
  4. = 127
  5. = 8191
  6. = 131 071
  7. = 524 287
  8. = 2 147 483 647
  9. = 2 305 843 009 213 693 951
  10. = 618 970 019 642 690 137 449 562 111
  11. = 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127
  12. = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Mersenne prime“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница. Вижте източниците на оригиналната статия, състоянието ѝ при превода и списъка на съавторите.