Обикновено диференциално уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към навигацията Направо към търсенето

Обикновено диференциално уравнение (ОДУ) е диференциално уравнение, съдържащо една или повече функции на независима променлива и производните на тези функции.[1] Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина частно диференциално уравнение, което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.[2]

Определение за ОДУ от -ти ред[редактиране | редактиране на кода]

Уравнение от вида , където е независима променлива, е неизвестна функция, а са нейните производни до ред , се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от -ти ред.[3]

Хомогенни диференциални уравнения[редактиране | редактиране на кода]

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

,

където и могат да са функции на или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение -тата производна спрямо се обозначава с .

Ползвайки този оператор горното диференциално уравнение може да се запише като:

Ако , горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако , уравнението се нарича нехомогенно.

Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред[редактиране | редактиране на кода]

При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

Забележете че има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид: =>

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме:

Полагаме

, където е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

Заместваме полученият резултат за z в

Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

интегрираме и получаваме следното решение:

Преобразуваме:

Когато и са реални числа, решението за функцията е:

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Dennis G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning, 15 март 2012. ISBN 1-285-40110-7.
  2. What is the origin of the term „ordinary differential equations“?. // Stack Exchange. Посетен на 28 юли 2016.
  3. Математика, доц. д-р Добромир Тодоров и гл. ас. Кирил Николов, УНСС, София, 2009