Производна

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Графиката на функция (в черно) и допирателната (в червено). Диференчното частно на допирателната е равно на производната в дадената точка.

Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна, се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точка x0 от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) – като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница , то тя се нарича производна на функцията f(x) в точката x0.

Частното се нарича диференчно частно.

С други думи, производна на функцията f(x) за дадена стойност (x0) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 .

Функция, която има производна в точка x, се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича диференциране.

Означения при диференциране[редактиране | редактиране на кода]

Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.

Означение на Лайбниц[редактиране | редактиране на кода]

Означението за производна представено от Готфрид Лайбниц е едно от първите. То все още се използва когато уравнението y = ƒ(x) се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:

(произнася се „де игрек де хикс“)

Означение на Лагранж[редактиране | редактиране на кода]

Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на Жозеф Луи Лагранж. Първата производна се означава:

( произнася се „еф прим хикс“)

Означение на Нютон[редактиране | редактиране на кода]

,

Означение на Ойлер[редактиране | редактиране на кода]

 – за първа производна,
 – за втора производна, и
 – за n-та производна при n > 1

Изчисляване на производни[редактиране | редактиране на кода]

Правила за диференциране[редактиране | редактиране на кода]

  1. Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.
  2. (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
  3. (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) – u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) – u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv – u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
  4. (uv)(n)= – формула на Лайбниц.
  5. (u/v)′ = (u′v−uv′)/v2. Доказателство: Δ(u/v) = u( x + Δx ) / v( x + Δx ) − u( x ) / v( x ) = ( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) ) / ( v( x )v( x + Δx ) ) =

( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + Δx) ) = ( Δu( x )v( x ) – u( x )Δv( x ) ) / ( v( x )v( x + Δx ) ), границата е равна на (u′v−uv′)/v2.

Производни на някои функции[редактиране | редактиране на кода]

  1. (константа), защото нарастването на всяка константа е 0.
  2. (ax)′ = ax ln a , в частност, (ex)′ = ex
  3. (logax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x
  4. (xa)′ = axa−1
  5. (sin x)′ = cos x (синус)
  6. (cos x)′ = −sin x (косинус)
  7. (tg x)′ = (тангенс)
  8. (cotg x)′ = (котангенс)
  9. (arcsin x)′ = (аркуссинус)
  10. (arccos x)′ = (аркускосинус)
  11. (arctg x)′ = (аркустангенс)
  12. (arcctg x)′ = (аркускотангенс)

Примерно пресмятане[редактиране | редактиране на кода]

Производната на функцията

е равна на:

Смисъл на понятието[редактиране | редактиране на кода]

Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t0), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- t0) (v = s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента t0.

Геометричен и физически смисъл на производната[редактиране | редактиране на кода]

Геометрично представяне на понятието[редактиране | редактиране на кода]

Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

Скорост на изменението на функцията път[редактиране | редактиране на кода]

Нека е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава изразява моментната скорост на движението в момента от времето Втората производна изразява ускорението в момента

Въобще производната на функцията в точката изразява скоростта на изменение на функцията в точката .

Производни от по-висок ред[редактиране | редактиране на кода]

Нека f(x) е диференцуема функция и f′(x) е нейната производна. Производната на f′(x) (ако съществува) се означава като f′'(x) и се нарича втора производна на f(x). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича трета производна. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н. – производни от по-висок ред.

Функцията f може да няма производна – например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека

Елементарно пресмятане показва, че f е диференцуема функция, чиято производна е

.

f′(x) няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има k производни за някакво цяло неотрицателно k, но да няма производна от (k + 1)-ви ред.

Вижте още[редактиране | редактиране на кода]

Функция

Граница (математика)

Интеграл